1 — Движение тел в среде с трением

Лабораторная работа № 1
"Движение тел в среде с учетом трения"

Элементы теории.

Второй закон Ньютона. Ускорение 13 EMBED Equation.3 1415, с которым движется тело, прямо пропорционально векторной сумме действующих на него сил 13 EMBED Equation.3 1415 и обратно пропорционально его массе m:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - скорость, 13 EMBED Equation.3 1415- перемещение, t – время.
Так как имеет место:
13 EMBED Equation.3 1415,
то второй закон Ньютона сводится к системе двух векторных дифференциальных уравнений:
13 EMBED Equation.3 1415.
При решении конкретных задач конкретизируются соотношения для действующих сил и массы тела и производится проецирование векторных уравнений на координатные оси. В результате получают систему обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть решена каким-либо численным методом. Ниже в инструкции изложен и применен на конкретном примере метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности.
2. Сила сопротивления. При реальных физических движениях тел в газовой или жидкостной среде трение сильно влияет на характер движения. При относительно малых скоростях величина силы сопротивления пропорциональна скорости и имеет место соотношение:
13 EMBED Equation.3 1415,
где k1 определяется свойствами среды и формой тела. Например, для шара имеет место формула Стокса:
13 EMBED Equation.3 1415,
где ( - динамическая вязкость воздуха, r – радиус шара. Так для воздуха при t=20(C и давлении 1 атм ( = 0,0182 Н(с/м2, для воды - ( = 1,002 Н(с/м2, для глицерина - ( = 1480 Н(с/м2.
При более высоких скоростях сила сопротивления становится пропорциональной квадрату скорости:
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415,
S – площадь поперечного сечения тела,
с – коэффициент лобового (аэродинамического) сопротивления,
( - плотность среды.
При достаточно больших скоростях можно принимать следующие значения коэффициента лобового сопротивления для некоторых тел:

- диск с = 1,11;


- полусфера с = 0,55;


- шар с = 0,4;


- каплевидное тело с = 0,045.


3. Свободное падение тела. Математическая модель свободного падения тела – уравнение второго закона Ньютона с учетом двух сил, действующих на тело – силы тяжести и силы сопротивления среды. Движение является одномерным. В скалярной форме получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Входные параметры модели:
- начальная скорость тела;
- начальная высота тела;
- величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2 .
4. Взлет ракеты. Рассмотрим простейшую модель вертикального взлета ракеты с учетом уменьшения ее массы во время взлета по линейному закону:
13 EMBED Equation.3 1415.
Сила тяги двигателя считается постоянной на всем участке взлета.
Будем учитывать, что плотность воздуха (, входящая в коэффициент k2 , убывает по мере подъема ракеты по закону 13 EMBED Equation.3 1415, где h – высота, ( = 5,6(10 -5м -1. Тогда модель имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.
Входные параметры модели:
m0 – начальная масса ракеты, заправленной топливом;
mкон – остаточная масса после полного выгорания топлива;
( - расход топлива;
величины, определяющие k2 – коэффициент сопротивления воздуха (линейной составляющей силы сопротивления можно заведомо пренебречь);
Fтяги – сила тяги двигателя.
5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Дифференциальные уравнения модели получаются из второго закона Ньютона проецированием на вертикальную и горизонтальную оси координат:
13 EMBED Equation.3 1415.
Входные параметры модели:
m – масса тела;
v – начальная скорость;
( - угол начального наклона скорости к горизонту;
величины, определяющие коэффициенты сопротивления среды k1 и k2 .


Пример решения задачи.

Задание. Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с лежащей на дне подводной лодки на поражение движущегося надводного корабля. Пуск торпеды производится в момент прохождения корабля над лодкой. Исследовать связь между глубиной залегания лодки, временем поражения цели, условиями поражения (энерговооруженностью двигателя и параметрами старта).
Схема задачи приведена на рисунке. Принимается, что торпеда запускается в момент прохождения над ней корабля. Запуск производится с начальной скоростью 13 EMBED Equation.3 1415под углом (н к горизонтальной оси. Глубина залегания ракеты составляет L, скорость движения корабля равна 13 EMBED Equation.3 1415. Принимается, что тяга двигателя постоянна, равна 13 EMBED Equation.3 1415 и направлена по касательной к траектории движения торпеды по ходу движения. На торпеду действует сила сопротивления среды, равная по модулю 13 EMBED Equation.3 1415, где ( - модуль текущей скорости торпеды, которая направлена по касательной к траектории движения торпеды против хода ее движения. Коэффициенты сопротивления линейного и квадратного слагаемых будем вычислять по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415,
где ( - динамическая вязкость среды, ( - плотность среды, S – площадь поперечного сечения торпеды, r – ее радиус поперечного сечения, с – коэффициент лобового сопротивления. Если поперечное сечение имеет некруглую форму, то в качестве его радиуса берется приведенная величина:
13 EMBED Equation.3 1415.
На торпеду при движении действует сила тяжести с ускорением свободного падения g, направленная вертикально вниз. Угол ( наклона касательной к траектории движения связан с компонентами вектора скорости (х и (у следующими соотношениями:
13 EMBED Equation.3 1415,
которые используются для проектирования исходных уравнений движения:
13 EMBED Equation.3 1415
на координатные оси. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - вектор перемещения торпеды.
Тогда с учетом сделанных предположений система уравнений принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415 (П1)
Для отладки программы принимаются следующие значения исходных данных: плотность воды ( = 1000 кг/м3, динамическая вязкость среды ( = 1,002 Н(с/м2, коэффициент лобового (аэродинамического) сопротивления с = 0,1, ускорение свободного падения g = 9,81 м/с2. Принимаются следующие параметры торпеды и параметров старта: начальная скорость торпеды vн = 1 м/с, угол старта ( = 80(, радиус поперечного сечения торпеды r = 0,3 м, масса торпеды m = 250 кг, сила тяги двигателя F = 30000 Н, глубина залегания торпеды L = 200 м, скорость движения корабля vк = 10 м/с. Площадь поперечного сечения, представляющего собой круг, вычисляется по формуле S = (r2 . Расстояние смещения корабля после старта торпеды вычисляется по формуле Lк = vк t. Для полного определения задачи Коши задаем начальные условия следующим образом:
vx (0) = vн cos (н , vy (0) = vн sin (н , x(0) = 0, y(0) = 0. (П2)
Вычисления прекращаются, когда координата y достигнет величины глубина залегания торпеды L.
Для численного интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений будем использовать классический метод Рунге-Кутта 4-го порядка. Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных уравнений первого порядка имеет вид - требуется найти решение системы:
13 EMBED Equation.3 1415 (П3)
при начальных условиях
y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , , yn (x0 ) = yn0 .
Если правые части дифференциальных уравнений системы – непрерывны вместе со своими частными производными по переменным yi в некоторой области D (n+1)-мерного пространства, то для любой точки (x0 , y01 , , yn )( D система имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y1 (x0 ) = y10 , y2 (x0 ) = y20 , , yn (x0 ) = yn0 . (П4)
Введем векторные обозначения:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда задача Коши в векторной форме имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (П5)
Численное решение задачи Коши состоит в том, что на отрезке [a, b] требуется получить приближенные значения координат вектора 13 EMBED Equation.3 1415 в узлах сетки xi , i = 1, 2, , m. Обозначим вектор, аппроксимирующий решение, через 13 EMBED Equation.3 1415, а его координаты – через yki , k = 1, 2, , n, , i = 1, 2, , m так, что yki = yk (xi ) или
13 EMBED Equation.3 1415. (П6)
Будем искать решение на равномерной сетке с шагом h = (b – a) /m.
Погрешность численного метода оценивается величиной 13 EMBED Equation.3 1415, где di – погрешность решения на сетке с шагом h в точке xi :
13 EMBED Equation.3 1415. (П7)
Практически погрешность в точке xi оценивают по формуле Рунге. Пусть: 13 EMBED Equation.3 1415. – значения численного решения в точке xi , полученные для шагов h и h/2 соответственно. тогда погрешность di в точке xi для вычислений с шагом h/2 выражается приближенным равенством:
13 EMBED Equation.3 1415 , (П8)
где р – порядок точности численного метода. Для метода Рунге-Кутта 4-го порядка р = 4.
Векторная форма алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи задачи Коши имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, (П9)
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415
Для данной задачи введенные обозначения конкретизируются следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415, (П10)
13 EMBED Equation.3 1415. (П11)
Аргумент задачи – время t. Примем в качестве шага по времени величину h = 0,1.
Будем решать задачу в табличном процессоре MS Excel. Оформим рабочий лист Расчет для ввода исходных данных и оформим строку заголовков для таблицы результатов, как показано на рис. 1. Вычисления организуем в макросе Visual Basic for Applications (VBA), текст которого с комментариями приведен ниже.

' Инструкция об обязательном объявлении переменных
Option Explicit

' Объявление именованной константы
Const pi = 3.1415926

' Объявление объектовых переменных
' ID – массив исходных данных
' Rez – массив результатов
Dim ID As Object
Dim Rez As Object

' Объявление переменных
' Vx, Vy, x, y – проекции скорости, траекторные координаты
' Vn, alfa, r, Ro – начальная скорость и угол старта, радиус торпеды, плотность воды
' mu, c – динамическая вязкость, коэффициент лобового сопротивления
' m, F – масса торпеды, тяга двигателя
' g, L – ускорение свободного падения, глубина залегания торпеды
' Vk, h – скорость корабля, шаг интегрирования
' k1, k2 – линейный и квадратный коэффициент сопротивления
' t, Lk – время, расстояние смещения корабля
Dim Vx As Double, Vy As Double, x As Double, y As Double
Dim Vn As Double, alfa As Double, r As Double, Ro As Double
Dim mu As Double, c As Double, m As Double, F As Double
Dim g As Double, L As Double, Vk As Double, h As Double
Dim k1 As Double, k2 As Double, t As Double
Dim Lk As Double

' Функции для вычисления компонент вектора правых частей (П11)
Function Vxp(Vx As Double, Vy As Double) As Double
Vxp = (F / Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2) - k1 - k2 * _
Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2)) * Vx / m
End Function
Function Vyp(Vx As Double, Vy As Double) As Double
Vyp = (F / Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2) - k1 - _
k2 * Sqr(Vx ^ 2 + Vy ^ 2)) * Vy / m - g
End Function
Function xp(Vx As Double) As Double
xp = Vx
End Function
Function yp(Vy As Double) As Double
yp = Vy
End Function

' Процедура для реализации метода Рунге-Кутта
Sub Расчет()
' Объявление переменных
' i – счетчик шагов цикла
' kvx1, kvy1, kx1, ky1 – компоненты вектора k1 в (П9)
' kvx2, kvy2, kx2, ky2 – компоненты вектора k2 в (П9)
' kvx3, kvy3, kx3, ky3 – компоненты вектора k3 в (П9)
' kvx4, kvy4, kx4, ky4 – компоненты вектора k4 в (П9)
Dim i
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·' Связывание объектовой переменной ID с диапазоном исходных данных листа Расчет
Set ID = Worksheets("Расчет ").Range("A2:A13")
' Связывание объектовой переменной Rez с диапазоном результатов расчета листа Расчет
Set Rez = Worksheets("Расчет").Range("A17:F10000")
' Обнуление содержания объектовой переменной Rez
Rez.ClearContents
' Присвоение значений исходным данным из объектовой переменной ID
Vn = ID(1)
alfa = ID(2)
alfa = alfa * pi / 180
r = ID(3)
Ro = ID(4)
mu = ID(5)
c = ID(6)
m = ID(7)
F = ID(8)
g = ID(9)
L = ID(10)
Vk = ID(11)
h = ID(12)
' Вычисление линейного и квадратного коэффициентов сопротивления (П1)
k1 = 6 * pi * mu * r
k2 = c * pi * r ^ 2 * Ro / 2
' Вычисление начальных условий (П2)
Vx = Vn * Cos(alfa)
Vy = Vn * Sin(alfa)
x = 0
y = 0
t = 0
Lk = 0
' Вывод результатов в начальный момент времени
i = 1
Rez(1, 1) = t
Rez(1, 2) = x
Rez(1, 3) = y
Rez(1, 4) = Vx
Rez(1, 5) = Vy
Rez(1, 6) = Lk
' Начало цикло вычислений, который заканчивается, когда координата y превысит
' глубину залегания
Do Until y > L
' Вычисление компонент векторов k1 – k4 по (П9) и (П11)
kvx1 = Vxp(Vx, Vy)
kvy1 = Vyp(Vx, Vy)
kx1 = xp(Vx)
ky1 = yp(Vy)
kvx2 = Vxp(Vx + kvx1 * h / 2, Vy + kvy1 * h / 2)
kvy2 = Vyp(Vx + kvx1 * h / 2, Vy + kvy1 * h / 2)
kx2 = xp(Vx + kvx1 * h / 2)
ky2 = yp(Vy + kvy1 * h / 2)
kvx3 = Vxp(Vx + kvx2 * h / 2, Vy + kvy2 * h / 2)
kvy3 = Vyp(Vx + kvx2 * h / 2, Vy + kvy2 * h / 2)
kx3 = xp(Vx + kvx2 * h / 2)
ky3 = yp(Vy + kvy2 * h / 2)
kvx4 = Vxp(Vx + kvx3 * h, Vy + kvy3 * h)
kvy4 = Vyp(Vx + kvx3 * h, Vy + kvy3 * h)
kx4 = xp(Vx + kvx3 * h)
ky4 = yp(Vy + kvy3 * h)
' Вычисление значений переменных на новом слое по (П9)
Vx = Vx + h * (kvx1 + 2 * kvx2 + 2 * kvx3 + kvx4) / 6
Vy = Vy + h * (kvy1 + 2 * kvy2 + 2 * kvy3 + kvy4) / 6
x = x + h * (kx1 + 2 * kx2 + 2 * kx3 + kx4) / 6
y = y + h * (ky1 + 2 * ky2 + 2 * ky3 + ky4) / 6
' Вычисление новых значений времени, смещения корабля и номера строки
' вывода результатов
t = t + h
Lk = t * Vk
i = i + 1
' Вывод результатов в текущий момент времени
Rez(i, 1) = t
Rez(i, 2) = x
Rez(i, 3) = y
Rez(i, 4) = Vx
Rez(i, 5) = Vy
Rez(i, 6) = Lk
' Оператор конца цикла
Loop
End Sub

Для запуска макроса разместим на рабочем листе элемент управления Кнопка и сформируем процедуру обработки события Click следующего содержания:

Private Sub CommandButton2_Click()
Расчет
End Sub

Результаты расчета показывают, что для приведенных исходных данных время движения торпеды до поверхности воды составило t = 5,4 с, за которое корабль сместится на Lк = 54 м. При этом координата торпеды в момент выхода на поверхность составляет х = 94,691 м, то есть цель не поражена.
Используя разработанную программу, проведем серию расчетов по моделированию изучаемого процесса.
1. Построим траекторию движения торпеды для разных углах старта. Данные расчетов представлены на рис. 2. Из приведенных данных видно, что начиная с некоторого угла старта, торпеда не достигает поверхности воды.
2. Проведем серию расчетов для углов старта ( от 90( до 80( через 1( и трех значений тяги двигателя F = ( 30 кН, 50 кН, 100 кН ) для глубины залегания L = 500 м. В расчетах определялись смещение xвых торпеды по оси Х на момент выхода на поверхность воды и время движения tвых до поверхности. Результаты расчетов приведены в таблице.

(, (
F = 30 кН
F = 50 кН
F = 100 кН


xвых
tвых
xвых
tвых
xвых
tвых

90
0
11,7
0
8,9
0
6,2

89
57,6
11,8
24,4
8,9
14,0
6,2

88
123,1
12,2
49,3
9,0
27,9
6,2

87
219,8
13,3
73,6
9,0
42,8
6,3

86
-
-
99,7
9,1
56,9
6,3

85
-
-
126,3
9,2
71,1
6,3

84
-
-
156,3
9,4
85,1
6,3

83
-
-
187,7
9,6
101,3
6,4

82
-
-
224,1
9,9
115,4
6,4

81
-
-
262,0
10,2
129,4
6,4

80
-
-
316,5
10,8
146,5
6,5


Из приведенной таблицы видно, что при малой энерговооруженности двигателя и малых углах старта торпеда не достигает поверхности воды. По данным проведенных расчетов построена номограмма определения угла старта ( торпеды при заданных тяге F двигателя при заданной глубине залегания L = 500 м для трех значений скорости корабля v = ( 5 м/с, 10 м/с, 15 м/с ). Величина ( определяется как абсцисса пересечения графиков функций xвых (( ) и Lк(( ) (рис 3). Результаты обработки номограммы приведены в таблице.


v = 5 м/с
v = 10 м/с
v = 15 м/с

F = 30 кН
89,1
88,0
87,2

F = 50 кН
88,2
86,2
84,3

F = 100 кН
87,9
85,8
83,7


3. Оценим точность полученных результатов используя правило Рунге. Для этого воспользуемся результатами расчетов предыдущего пункта при F = 100 кН и ( = 80(. Рассмотрим результаты расчета параметров задачи на момент времени t = 6 c, полученные при расчете с шагом h = 0,1 с и h = 0,05 с и оценим абсолютную точность полученных результатов по формуле Рунге, учитывая 4-ый порядок точности используемого метода:
13 EMBED Equation.3 1415
Относительную погрешность определим по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Результаты расчетов представлены в таблице.


x, м
y, м
vx , м/с
vy , м/с

h = 0,1
130,725
466,604
30,685
77,034

h = 0,1
134,764
465,432
31,602
76,667

d(h/2)
0,1303
0,0378
0,02958
0,01183

( , %
0,097
0,0082
0,094
0,015


Таким образом, точность выполненных расчетов не менее 0,1 %.


Общие рекомендации

1. Необходим контроль точности результатов и устойчивости применяемого численного метода. Для этого достаточно ограничиться эмпирическими приемами (например, применением правила Рунге оценки точности решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений)
Применять для моделирования метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности интегрирования систем дифференциальных уравнений. Результаты моделирования следует выводить на экран компьютера в следующих видах: таблицы зависимостей перемещения и скорости от времени, графики этих зависимостей, траектории. Желательны динамические иллюстрации движения тел (скажем, изображение движений по траекториям в некотором условном масштабе времени через равные промежутки). Уместны звуковые сигналы (одни в критические моменты для моделируемого движения, другие - через некоторый фиксированный отрезок пройденного пути и т.д.).
При выводе результатов в табличном виде выводимые числа следует разумным образом форматировать, чтобы незначащие цифры практически отсутствовали.
При выводе результатов в графической форме графики должны быть построены так, как это принято в математической литературе (с указанием того, какие величины отложены по осям, в каких масштабах и т.д.).

Задания к лабораторной работе

Выписать математическую модель, определить состав набора входных параметров и их конкретные числовые значения.
Спроектировать пользовательский интерфейс программы моделирования, обращая особое внимание на формы представления результатов.
разработать самостоятельно программу интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений с оценкой точности расчетов.
Произвести отладку и тестирование разработанной программы.
Выполнить конкретное задание из своего варианта работы.
Качественно проанализировать результаты моделирования.
Создать текстовый отчет по лабораторной работе, включающий:
- титульный лист (указать название работы, исполнителя, номер группы и т.д.);
- постановку задачи и описание модели;
- результаты тестирования программы;
- результаты, полученные в ходе выполнения задания (в различных формах).
Варианты заданий
Вариант 1. Парашютист прыгает с некоторой высоты и летит, не открывая парашюта; на какой высоте (или через какое время) ему следует открыть парашют, чтобы иметь к моменту приземления безопасную скорость (не большую 10 м/с)?
Вариант 2. Изучить, как связана высота прыжка с площадью поперечного сечения парашюта, чтобы скорость приземления была безопасной.
Вариант 3. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных вязких средах. Изучить влияние вязкости среды на характер движения. Скорость движения должна быть столь невелика, чтобы квадратичной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать.
Вариант 4. Промоделировать падение тела с заданными характеристиками (массой, формой) в различных плотных средах. Изучить влияние плотности среды на характер движения. Скорость движения должна быть достаточно большой, чтобы линейной составляющей силы сопротивления можно было пренебрегать (на большей части пути).
Вариант 5. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.
Вариант 6. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю.
Вариант 7. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 8. Глубинная бомба, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 9. Провести моделирование взлета ракеты при значениях параметров m0 = 2(10 7 кг, mкон = 2(10 5 кг, ( = 2(10 5 кг/с, Fтяги = 4(10 8 Н. Ответить на вопрос, достигнет ли ракета при этих значениях параметров первой космической скорости 7,8 км/с?
Вариант 10. Провести исследование соотношения входных параметров m0 и Fтяги , при которых ракета достигнет первой космической скорости (и в соответствующий момент исчерпает горючее). Остальные входные параметры фиксировать произвольно. Построить соответствующую фазовую диаграмму в переменных ( m0 , Fтяги ).
Вариант 11. Разработать и исследовать усовершенствованную модель взлета ракеты, приняв во внимание, что реальные космические ракеты обычно двух- и трехступенчатые и двигатели разных ступеней имеют разную силу тяги.
Вариант 12. Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с уровня земли. В верхней точке траектории двигатель выключается, над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается в точку старта.
Вариант 13. Промоделировать движение исследовательского зонда, снабженного разгонным двигателем небольшой мощности, «выстреленного» вертикально вверх с летящего над землей самолета. В верхней точке траектории над зондом раскрывается парашют, и он плавно спускается на землю.
Вариант 14. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 15. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается со стоящего неподвижно противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 16. Торпеда, снабженная разгонным двигателем, нацеливается с подводной лодки на стоящий вертикально над ней надводный корабль. Исследовать связь между временем поражения цели и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 17. Построить траектории и найти временные зависимости горизонтальной и вертикальной составляющих скорости и перемещения для тела массой 1 кг, брошенного под углом 45° к горизонту с начальной скоростью 10 м/с:
1) в воздухе; 2) в воде.
Сравнить результаты с теми, которые получились бы без учета сопротивления среды (последние можно получить либо численно из той же модели, либо аналитически).
Вариант 18. Найти вид зависимости горизонтальной длины полета тела и максимальной высоты траектории от одного из коэффициентов сопротивления среды, фиксировав все остальные параметры. Представить эту зависимость графически и подобрать подходящую аналитическую формулу, определив ее параметры методом наименьших квадратов.
Вариант 19. Разработать модель подводной охоты. На расстоянии r под углом (( подводный охотник видит неподвижную акулу. На сколько метров выше нее надо целиться, чтобы гарпун попал в цель?
Вариант 20. Поставить и решить задачу о подводной охоте при дополнительном условии: акула движется.
Вариант 21. Промоделировать движение исследовательского зонда, «выстреленного» под углом к горизонту. В верхней точке траектории над зондом раскрывается тормозной парашют, затем зонд плавно движется до земли.
Вариант 22. Глубинная бомба, установленная на взрыв через заданное время, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между глубиной, на которой произойдет взрыв, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).
Вариант 23. Глубинная бомба-торпеда, снабженная разгонным двигателем, установленная на взрыв на заданной глубине, сбрасывается с движущегося противолодочного корабля. Исследовать связь между временем достижения заданной глубины, пройденным расстоянием по горизонтали и формой корпуса (сферической, полусферической, каплевидной и т.д.).


































































































































































































Компьютерное моделирование

13PAGE 15


13PAGE 14115
Лабораторная работа № 1


ПЛ

у

х

начальное
направление
движения торпеды

13 EMBED Equation.3 1415



vx

vy

(

13 EMBED Equation.3 1415

L







Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc edufiles_3395
    Размер файла: 501 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий