intensiv_proizvodnye


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.





Высшая математика


просто и доступно!












Интенсивный курс


Как найти производную?














Данная методичка
позволяет в кратчайшие сроки буквально часы
научиться
дифференцировать находить производные

функции одной переменной. Матери
ал предназначен
для
учащихся
средней школы
и
студентов
-
заочников с начальным уровнем подготовки
.











Автор:

Александр Емелин

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


2

Оглавление


1. Как найти производную?

................................
................................
..............................

3

2. Производная сложной функции

................................
................................
.................

11

3. Производная очень сложной функции :

................................
................................
...

19

4. Логарифм
ическая производная

................................
................................
..................

27

5. Производные второго и более высоких порядков

................................
....................

31

6. Производная функции, заданной неявно

................................
................................
...

36

7. Производная параметрически заданной функции

................................
....................

41

8. Решения и ответы

................................
................................
................................
........

45



© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


3

1.

Как найти производную?


Или
,

чт
о то же самое,
как взять производную?

Для прохождения этого
интенсивного курса
нам потребую
тся
Приложения

Горячие школьные формулы

и

Правила дифференцирования и т
аблица производных
. По возможности их лучше
распечатать 
особенно второе
 и положить рядышком


чтобы справочные материалы
постоянно были под рукой,
перед
глазами и в сердце 


Есть?
П
риступим. У меня для в
ас есть
две новости
:
хорошая и очень хорошая
.


Хорошая новость состоит в следующем: чтобы научиться находить производные
совсем не обязательно

знать и понимать, что такое производная.
И о
чень хорошая новость
состоит в том, что научиться
брать производные не так сложно


существует довольно
чёткий алгоритм решения и объясне
ния этого задания. И
нтегралы или пределы,
например, освоить труднее.


В
рамках данной методи
чки я не буду останавливаться

на понятии производной, а
попытаюсь в доступно
й форме, шаг за шагом,
научить в
ас находить
эти самые
производные
. Вся информация изложена подробно, простыми словами. Собственно, сразу
рассмотрим пример:

Прим
ер
1

Найти производную функции
. И здесь нужно сделать
немедленное
замечание
:
функцию можно равноценно записать через
, однако, на практике
чаще встречается игрек, и поэтому я буду по
льзоваться буквой игрек
.


Решение
:


Это простейший пример, по
жалуйста, найдите его в
т
аблице производных
.
До сих
пор не под рукой?! Ай
-
яй
-
яй, негоже пренебрегать рабочей таблицей!


Теперь посмотрим на решение и проанализируем, ч
то же произошло? А произошла
следующая вещь: у нас была функция
, которая в результате решения превратилась
в функцию
.


Говоря совсем просто,
для того чтобы найти производную

функции, нужно
по
определенным пра
вилам

превратить

её

в другую функцию
. Посмотрите еще раз на
таблицу производных


там функции превращаются в другие функции. Единственным
исключением является экспоненциальная функция
, которая превращается сама в
себя.


Операция

на
хождения производной называется
дифференцированием
.


Обозначения:

п
роизводную обозначают
,

или

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


4

Вернемся к нашей таблице производны
х. Из данной таблицы желательно
запомнить наизусть
: пр
авила дифференцирования и производные некоторых
элементарных функций, особенно:


производную константы:

, где



постоянное число;


производную степенной функции:

, в частности:
.


Зачем запоминать?

Данные знания являются элементарными
знаниями о
производных. И если в
ы не сможете ответить преподавателю на вопрос Чему равна
производная числ
а?, то учеба в ВУЗе может для в
ас закончиться

лично знаком с двумя
подобным
и

случаями из жизни. Кроме того, это наиболее распространенные формулы,
которыми приходится пользоваться практически каждый раз, когда мы сталкиваемся с
производными.


В реальности простые табличные примеры


редкость, обычно
при нахождении
производных
с
начала

и
спользуют

правила дифференцирования
, а
затем



таблицу
.


В этой связи переходим к рассмотрению
правил дифференцирования
:


1 Постоянное число можно и нужно
 вынести за знак производной


, где



постоя
нное число константа

Пример
2

Найти производную функции


Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас
.


Решаем:




Самое время испол
ьзовать правило, выносим постоянный множитель за знак
производной:




А теперь превращаем наш косинус по таблице:




Ну и результат желательно немного причесать


ставим минус на первое место,
заодно избавляя
сь от скобок:



© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


5

2
)

Производная суммы равна сумме производных




!
Напоминаю
, что разность всегда мож
но представить в виде суммы
:

,
следовательно:


по Правилу 1


Д
анное правило, очевидно, справедливо не только для двух, но и для бОльшего
количества слагаемых:

Пример
3

Найти производную функции


Решаем. Как в
ы, наверное, уже заметили,
первое действие
, которое всегда
вы
полняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё
выражение и ставим штрих справа вверху:




Применяем второе правило:




Обратите внимание, что для дифференцирования все корни,

степени нужно
представить в виде
, а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Как
это сделать


рассмотрено в
Приложениях
.


Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования


постоянные
множители числа выноси
м за знак производной:



Обычно в ходе решения эти два правила применяют одновременно чтобы не
переписывать лишний раз длинное выражение.


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


6

Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными
функциями, с помощь
ю таблицы осуществляем превращение:




Можно всё оставить в таком виде, так как штрихов больше нет, и производная
найдена. Тем не менее, подобные выражения обычно упрощают:




Все степени вида

желательно снова представить в виде корней, степени с
отрицательными показателями


сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать,
ошибкой не будет.

Пример
4

Найти производную функции


Попробуй
те решить данный пример самостоятельно
.


3
)

Производная произведения функций


Вроде бы по аналогии напрашивается формула
., но неожиданность
состоит в том, что:




Эта необычное правило
как, собственно, и дру
гие

следует из
определения
производной
, но с теорией мы пока повременим


сейчас важнее научиться решать:

Пример
5

Найти производную функции


Здесь у нас произведение двух функций, зависящих от
. Сначала применяем наше
странное правило, а затем превращаем функции по таблице производных:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


7



Сложно? Вовсе нет, вполне доступно даже для чайника.

Пример
6

Найти производную функции


В данной функции содержится произведение двух функций


квадратного
трехчлена

и логарифма
. Со школы мы помним, что умножение и
деление имеют приоритет перед сложением и вычитанием.


Здесь всё т
ак же.
СНАЧАЛА

мы используем правило дифференцирования
произведения:




Теперь для скобки

используем два первых правила:




В результате применения правил дифференцирования под штрихами
у нас остались
только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие
функции:



Готово.


При определенном опыте нахождения производных, простые производные вроде

не обязательно расписывать

так подробно. Вообще, они обычно находятся в
уме, и сразу записывается, что
.

Пример
7

Найти производную функции


Это пример для

самостоятельного решения
.


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


8

4
)

Производная частного


В
потолке открылся люк, не пугайся, это глюк.


А вот это вот суровая действительность:


Пример
8

Найти производную функции


Чего здесь только нет


сумма, разность, произведение, дробь
. С чего бы
начать?! Есть сомнения, нет сомнений, но,
В ЛЮБОМ СЛУЧАЕ

для начала рисуем
скобочки и справа вверху ставим штрих:




Теперь смотрим на выражение в скобках, как бы его упростить? В данном случае
замечаем множитель, который

согласно первому правилу целесообразно вынести за знак
производной:




Заодно избавляемся от скобок в числителе, которые теперь не нужны.


Вообще говоря, постоянные множители при нахождении производной можно и не
выносить, но в это
м случае они будут путаться под ногами, что загромождает и
затрудняет решение.


Смотрим на наше выражение в скобках. У нас есть сложение, вычитание и деление.
Со школы мы помним, что деление выполняется в первую очередь. И здесь


сначала
применяем прави
ло дифференцирования частного:




Таким образом, наша страшная производная свелась к производным
от двух
простых скобок
. Применяем первое и второе правило, зде
сь это сделаем устно, надеюсь,
в
ы уже немного освоились в производных:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


9



Штрихов больше нет, задание выполнено.


На практике обычно но не всегда ответ упрощают школьными методами:





Самостоятельно:

Пример
9

Найти производную функции



Время от времени встречаются хитрые задачки:

Пример
10

Найти производную функции


Смотрим на данную функцию. Здесь снова дробь. Однако перед тем как
использовать правило дифференцирования частного а

его можно использовать, всегда
имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от
нее?

Дело в том, что формула

достаточно громоздка, и применять ее
совсем не хочется.


В данном случае можно почленн
о поделить числитель на знаменатель.


Преобразуем функцию:




Ну вот, совсем другое дело, теперь дифференцировать просто и приятно:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


10



Готово.

Пример
11

Найти производную функции


Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем
экспоненту в числитель, сменив у показателя знак:




Произведение все
-
таки дифференцировать проще:




Вот и всё.

Пример
12

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения.


Поздравляю вас
с первыми успехами!


Однако е
сли что
-
то осталось недопонятым, то

перечитайте материал ещё раз
!

Хотя п
роблемы зде
сь
, как правило,

бывают не с производными, а с алгебраическими
действиями, в частности, с преобразованием степеней. В случае подобных затруднений
следует немного освежить в памяти школьную программу.


Е
дем дальше:

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


11

2.

Производн
ая сложной функции


На практике
с производной сложной функции приходится сталкиваться очень
часто, я бы да
же сказал, почти всегда, когда в
ам даны задания на нахождение
производных.


Смотрим в таблицу на правило №5 дифференцирования сложной функции:





Разбираемс
я. Прежде всего, обратим внимание на запись
. Здесь у нас две
функции



и
, причем функция
, образно говоря, вложена в функцию
. Функция
так
ого вида когда одна функция вложена в другую и называется сложной функцией.


Функцию

я буду называть
внешней функцией
, а функцию



внутренней
или вложенной функцией
.


!

Примечание
: д
анные определения

не
являются теоретическими и не должны
фигурировать в чистовом оформлении заданий.

Я применяю неформальные выражения
внешняя

функция и

внутренняя
функция только для того, чтобы в
ам легче было
понять материал.


Проясним ситуацию на конкретном примере
:

Прим
ер
13

Найти производную функции


Под синусом у нас находится не просто буква икс, а целое выражение
,
поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что
здесь
невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что
разрывать на части синус нельзя:




В данном примере уже из этих

объяснений интуитивно понятно, что функция



э
то сложная функция, прич
ем дву
член

является внутренней
функцией вложением, а



внешней функцией.


Первый шаг
, который нужно выполнить при нахождении производной сложной
функции состоит в том, чтобы
разобраться
, какая функция являе
тся внутренней, а
какая


внешней
.


В случае простых примеров вроде

пон
ятно, что под синус вложен
дву
член
. Но

как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая
функция является внешней, а какая в
нутренней? Для этого я предлагаю использовать
следующий прием, который можно пров
одить мысленно или на черновике,
перелистываем страничку:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


12

Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения

при

вместо единицы может быть любое число
.


Что мы вычислим в первую очередь?
В первую очередь

нужно выполнить
следующее действие:
, поэтому двучлен


и есть внутренняя функция

:




Во вторую очередь

нужно найти
, поэтому синус


внешняя функция
:



После того, как
мы
РАЗОБРАЛИСЬ

с внутренней и внешней функциями самое
время применить правило дифференцирования сложной функции
.


Начинаем ре
шать.
Как
мы помним

из предыдущего параграфа,
оформление
решения любой производной всегда начинается так


заключаем выражение в скобки и
ставим справа вверху штрих:




Сначала

находим производную внешней функции

синуса. Для этого

смотрим
в
таблицу производных
и замечаем, что
.
Но это только цветочки!
Все табличные формулы

применимы и в том

случае, если икс заменить сложным
выражением
!


В

данном случае:





Обра
тите внимание, что внутренняя функция

не изменилась
, её мы не
трогаем
.


Ну и совершенно понятно
, что
.


Результат применения формулы

в чистовом оформлении выглядит
так:




Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:






© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


13

П
остоянный множитель обычно выносят в

самое начало:




Если осталось какое
-
либо недопонимание, перепишите решение
своей рукой
и

еще
раз прочитайте объяснения.



Разминаемся:

Пример
14

Найти производную функции


И продолжаем:

Пример
15

Найти производную функции


Как всегда записываем:



Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем
мысленно или на черновике вычислить значение выражения

при
. Что
нужно выполнить в первую очередь? В перву
ю очередь нужно сосчитать чему равно
основание:
, значит, двучлен




и есть внутренняя функция:


И

только потом выполняется возведение в степень
, следовательно, степенная
функция


это
внешняя функция:


Согласно формуле
, сначала нужно найти производную от внешней
функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу:
. Повторяем еще раз:
любая табличная формула справедл
ива не только для
икс, но и для сложного выражения
. Таким образом, результат применения правила
дифференцирования сложной функции

следующий:




Снова подчё
ркиваю, что когда мы берем производную от внешней ф
ункции
,
внутренняя функция

у нас не меняется:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


14

Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и
немного причесать результат:




Готово.

Теперь ваша очередь:

П
ример
16

Найти производную функции


Решение и ответ в конце методички.


Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без
комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассужд
ать, где внешняя и где
внутренняя функция, почему задания решены именно так?

Пример
17

а Найти производную функции




б Найти производную функции




Есть? Тогда добавим оборотов. И наворотов:

Пример
18

Найти производную функции


Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно
представить в виде степени
. Таким образом, сначала приводим функцию в
надлежащий для дифференцирования вид:




Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых


это
внутренняя функция, а возведение в степень


внешняя функция.
Применяем правило
дифференцирования сложной функции
:

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


15



Степень снова представляем в виде радикала корня, а для производной
внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:




Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и
записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные
производные


лучше этого не делать легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да
и пре
подавателю будет неудобно проверять.

Пример
19

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения.


Интересно отметить, что
в последних примерах
можно
было
использовать правило
дифференциров
ания частного
, но
подобное
решение
смотрелось бы
необычно
. Вот
ещё более
характерный пример:

Пример
20

Найти производную функции


Здесь можно применить

формулу

, но гораздо выгоднее найти
производную через правило ди
фференцирования сложной функции. Для этого поднимаем
косинус

наверх
:



Минус
константу

1)

сразу выносим за знак производной:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


16

Косинус


внутренняя фун
кция, возведение в степень


внешняя функция.


Используем наше правило
:




Находим производную внутренней функции, а косинус сбрасываем обратно вниз:




Готово. В рассмотренном примере
важно не запутаться в знаках. Кстати,
попробуйте решить его с помощью правила
, ответы должны совпасть.

Пример
21

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения.


К
ак вы уже успели заметить,
правило дифференцирования сложной функции очень
часто применяется в комбинации с остальными правилами дифференцирования.

Пример
22

Найти производную функции




Сначала используем правило дифференцирования суммы

и заодно в
первом слагаемом выносим постоянный множитель за знак производной по правилу
:




В обоих слагаемых под штрихами у нас на
ходится произведение функций,
следовательно, нужно дважды применить правило
:




Замечаем, что под некоторыми штрихами у нас находятся сложные функции
,
. Несмотря
на то, что этой простейшие из сложных функций такой вот каламбур, я
распишу их производные подробно. Согласно правилу
, получаем:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


17



Готово.


! Обратите внимание

на приоритет порядок

применения правил:

прав
ило
дифференцирования сложной функции применяется в последнюю очередь
.

Пример
23

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения.


В ходе
изучения
математического анализа дифференцировать

придется часто, и
поэтому
крайне желательно научиться находить не очень трудные производные
УСТНО
.
Более того, во многих заданиях и не требуется подробная роспись


предполагается, что вместо длинной цепочки

студент сразу сможет за
писать, что
.


Представьте
, что в 3 часа ночи

у вас

раздался телефонный звонок, и приятный
голос спросил: Чему равна производная тангенса двух икс?. На это должен последовать
почти мгновенный и вежливый ответ
, что
! И как раз отработке этого
навыка будет посвящён:


Математический диктант


Найти следующие производные
устно
, в одно действие, например:
.
Очень хорошо, если у вас всё
на бумаге


записывайте ответы прямо тут


справа:












© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


18




































Пожалуй, д
остаточно. Свериться с правильными ответами можно в

конце
методички
. И ничего страшного, если где
-
то
попутались


это быстро проходит

=)


Теперь лучше сделать небольшой перерыв, чтобы с новыми силами приступить к
изучению следующего па
раграфа.

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


19

3.


Производная очень сложной функции :


До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только
одно вложение. В практических же заданиях часто можно встр
етить производные, где как
матрё
шки, одна в другую, вложены сразу 3, а

то и 4
-
5 функций.

Пример
24

Найти производную функции


Разбираемся во вложениях этой функции.
Для этого вспоминаем наш технический
вспомогательный приём, а именно п
робуем вычислить выражение

с помощью
подопытного значения
. Как бы мы считали на калькуляторе?


Сначала нужно найти
, значит, арксинус


самое глубокое вложение:




Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат
:




И, наконец, семё
рку возводим в степень
:




То есть, в данном

примере у нас

два вложения
, при этом, самой внутренней
функцией является арксинус, а самой внешней функцией


показательная функция.


Начинаем решат
ь
:




Согласно правилу

сначала нужно взять производную от внешней
функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной
функции:
. Единственное отличие


вместо икс
 у нас сложное выражение
, что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения
правила дифференцирования сложной функции

следующий:




Под штрихом у нас снова сл
ожная функция! Но она уже проще.

Как мы только что
убедились,
внутренняя функция


арксинус, внешняя функция


степень.


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


20

Согласно правилу дифференцирования сложной функции сначала нужно взять
производную от степени:




Теперь все пр
осто, находим по таблице производную арксинуса и немного
причесываем выражение:




Готово.

Пример
25

Найти производные

следующих функций:


а



б


Это пример
для самостоятельного решения.


ну как оно, сложно? Следует отметить, что сложность сложности рознь


зачастую, то, что кажется сложным, вовсе не является таковым!

Давайте, наконец,
сформулируем это
золотое правило
:


Перед тем, как находить производную, вс
егда целесообразно посмотреть,

а
нельзя ли

как
-
нибудь упростить запись функции

ещё ДО дифференцирования?


Зачем?

Чтобы жить было легче
:

Пример
26

Найти
производную
функции


Изучаем

наш
у функцию
.
По первой о
глядке, здесь нужно взять производную о
т
корня, затем от 4
-
й степени, затем от синуса, и в последнюю очередь ещё и от дроби.
Перспектива, так скажем, малоприятная. И поэтому зададимся вопросом, а нельзя ли
записать функцию как
-
нибудь попроще?

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


21

Во
-
первых, мо
жно преобразовать корень:



(
корень
5
-
й

степени относится именно к синусу
.


И в
о
-
вторых,
можно упростить начинку синуса, ибо использовать правило

как
-
то да ну его
.

Разделим почленно
числитель на знаменатель
:




Таким образом, на поверку здесь
оказалось не три, а всего лишь два
вложения: под
степень вложен синус, а под синус вложено выражение
. Найдем производную,
используя правило дифференцирования сложной функци
и

два раза:




Ну и для красоты можно восстановить первоначальный марафет
:




Готово.


Следующая интересность
для самостоятельного разбора
:

Пример
27

Найти диффе
ренциал функции



Готовы?
Тогда без комплексов и страхов переходим к следующим примерам:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


22

Пример
28

Найти производную функции


Нет
-
нет
-
нет, я вовсе не изверг, такие штуки реально вс
тречаются на практике, и
более того, их любят предлагать на зачётах и экзаменах, в том числе студентам
-
заочникам! И поэтому я не рекомендую вам пропускать ближайшие примеры.


Как уже отмечалось, при нахождении производной сложной функции, прежде
всего, нео
бходимо
правильно
РАЗОБРАТЬСЯ

во вложениях. В тех случаях, когда есть
сомнения,
берё
м подопытное значение икс, например,

и пробуем мысленно или
на черновике подставить данное значение в страшное выражение.


1 Сначала нам нужн
о вычислить выражение
, значит, сумма



самое глубокое вложение.


2 Затем необходимо вычислить логарифм:


3 Далее косинус:


4 Потом косинус возвести в куб:


5 На пятом шаге



разность:


6 И, наконец, самая внешняя функция


это квадратный корень:


Формула дифференцирования сложной функции

применятся в
обратном пор
ядке, от самой внешней функции, до самой внутренней
. Сначала полное
решение, затем комментарии
:





© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


23

1 Берем производную от квадратного корня.


2 Берем производную от разности, используя правило


3 Произв
одная тройки равна нулю. Во втором слагаемом берем производную от
степени куба.


4 Берем производную от косинуса.


5 Берем производную от логарифма.


6 И, наконец, берем производную от самого глубокого вложения
.


Вроде без о
шибок.



Самостоятельно:


Пример
29

Найти производную функции


Подсказка
:
в первую очередь
используем свойство линейности
, затем правило
дифференцирования произведения



Настало время перейти к чему
-
нибудь
более компактному и симпатичному.

Не редка ситуация, когда в примере дано произведение не двух, и трёх функций.
Как найти производную от произведения трёх множителей?

Пример
30

Найти производную функции


Сна
чала смотрим, а нельзя ли произведение трех функций превратить в
произведение двух функций? Например, если бы у нас в произведении было два
многочлена, то можно было бы раскрыть скобки. Но в рассматриваемом примере все
функции разные: степень, экспонента и

логарифм.


В таких случаях нужно

последовательно
применить правило дифференцирования
произведения

два раза
.


Фокус состоит в том, что за у мы обозначим произведение двух функций:
, а за вэ


логарифм:
. Почему так можно сделать? А разве



это не произведение двух множителей и правило не работает?! Ничего
сложного нет:






© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


24

Теперь осталось применить правило

к скоб
ке
:




О
твет лучше оставить именно в таком виде


легче будет проверять.


Данный

пример можно решить вторым способом:




Следует отметить, что этот путь
совершенно равноценен в плане пр
авильности
решения, разница здесь может быть только в простоте, и, разумеется, во вкусе


кому как
удобнее,
кому как нравится.

Пример
31

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения, в
образце

он решен первым способом.


Рассмотрим аналогичные примеры с дробями.

Пример
32

Найти производную функции


Здесь можно пойти несколькими путями:




или так:




Но решение запишется

более компактно, если в первую очередь использовать
правило дифференцирования частного
, приняв за

весь числитель:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


25



В пр
инципе, пример решён, и если ответ

ос
тавить в таком виде, то это не будет
ошибкой. Но при наличии времени всегда желательно проверить

на черновике, а нельзя
ли его

упростить?




Минус дополнительных упрощений состоит в том, что есть риск допустить ошибку
уже не при нах
ождении производной, а при банальных

школьных


преобразованиях.

В
частности, следует очень внимательно и аккуратно! разбираться с трёхэтажной дробью
см. Приложение
Горячие школьные формулы
)
.



С другой стороны, преподаватели нередко бракуют задание и п
рос
ят довести до
ума производную. В результате, чего, кстати, может получиться и конфетка.


Такая вот дилемма.


Более простой пример для самостоятельного решения:


Пример
33

Найти производную функции







© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


26

Продолжаем осваивать приёмы нахождения производной, и сейчас мы рассмотрим
типовой случай, когда для дифференцирования предложен страшный логарифм
:

Пример
34

Найти производную функции


Тут можно пойти д
линным путём, используя правило дифференцирования сложной
функции:



Но первый же шаг сразу повергает в уныние


предстоит взять неприятную
производную от дробной степени
, а потом ещё и от дроби
.


Поэтому
перед тем

как брать производную от навороченного логарифма, его
предварительно упрощают, исполь
зуя известные школьные свойства; ввиду важности и
актуальности выпишу их из
Приложения
Горячие школьные формулы
:




Совершенно понятно, что функцию выгодно преобразовать:




Вот теперь н
аходим производную:




Как видите, п
редварительное преобразование самой функции значительно
упростило решение. Таким образом, когда для дифф
еренцирования предложен подобный
логарифм, то его всегда целесообразно развалить.


И это уже даже не золотое, а дважды платиновое правило 


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


27

А сейчас пара несложных примеров для самостоятельного решения:

Пример
35

Найти производ
ную функции

Пример
36

Найти производную функции


Успехов!


4.

Логарифмическая производная


Если производная от логарифмов


это такая сладкая музыка, то возникает вопрос,
а нельзя ли в н
екоторых случаях организовать логарифм искусственно?


Можно! И даже нужно:

Пример
37

Найти производную функции


Похожие примеры мы недавно рассмотрели. Что делать? Можно последовательно
применить правило ди
фференцирования частного, а потом правило дифференцирования
произведения. Недостаток способа состоит в том, что получится огромная трехэтажная
дробь, с которой совсем не хочется иметь дела.


Но в теории и практике есть такая замечательная вещь, как логариф
мическая
производная. Логарифмы можно организовать искусственно, навесив их на обе части:




Теперь нужно максимально развалить логарифм правой части формулы перед
глазами?. Я распишу этот процесс очень подробно:





© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


28

Собственно приступаем к дифференцированию.


Заключаем под штрих обе части:




Производная правой части достаточно простая, её я комментировать не буду,
поскольку если вы читаете этот текст, то должны уверенно с ней спра
виться.


Как быть с левой частью?


В левой части у нас
сложная функция
. Предвижу вопрос: Почему, там же одна
буковка игрек под логарифмом?.


Дело в том, что эта одна буковка игрек


САМА ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ
ФУНКЦИЕЙ
. Поэтому логарифм


это внешняя функ
ция, а игрек


внутренняя
функция. И
здесь
мы используем

то же самое

правило дифференцирования сложной
функции
:




В левой части как по мановению волшебной палочки у нас нарисовалась
производная
. Далее по правилу пропорции перекидываем игрек из знаменателя
левой части наверх правой части:




А теперь вспоминаем, о каком таком игреке
-
функции мы рассуждали при
дифференцировании? Смотрим на условие:


Окончательный ответ:



Пример
38

Найти производную функции


Это пример для самостоятельного решения.
Примерный образец чистового
оформления задания
в
конце методички
.


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


29

С помощью лог
арифмической производной можно решить любой из примеров
№№
30
-
33

ссылки живые
, другое дело, что
там функции проще, и, скорее всего
,
использован
ие логарифмической производной не слишком
-
то и оправдано.


Производная степенно
-
показательной функции


Данную функцию мы еще не рассматривали. Степенно
-
показательная функция


это функция, у которой
и степень и основание зависят от икс
. Классический при
мер,
который вам приведут в любом учебнике или на любой лекции:




Как найти производную от степенно
-
показательной функции?


Необходимо использовать только что рассмотренный приём


логарифмическую
производную. Навешиваем логарифмы н
а обе части:




Как правило, в правой части из
-
под логарифма выносится степень:




В результате в правой части у нас получилось произведение двух функций, которое
будет дифференцироваться по стандартной формуле

.


Находим производную, для этого заключаем обе части под штрихи:




Дальнейшие действия прозрачны
:




Окончательно:




Если какое
-
то преобразование не совсем пон
ятно, пожалуйста, внимательно
перечитайте объяснения Примера №
37
.


В практических заданиях степе
нно
-
показательная функция само собой

будет
сложнее, чем
рассмотренный лекционный пример:






© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


30

Пример
39

Найти производную функции


Выполняем стандартное действие:





В правой части у нас константа и произведение двух м
ножителей


икса и
логарифма логарифма икс в

лог
арифм вложен еще один логарифм. При
дифференцировании константу, как мы помним, лучше сразу вынести за знак
производной, чтобы она не мешалась под ногами;
после чего
применяем знакомое
правило
:




И как обыч
но, отправляем игрек наверх:




Как видите, алгоритм применения логарифмической производной не содержит в
себе каких
-
то особых хитростей или уловок, и нахождение производной степенно
-
показательной функции обы
чно не связано с мучениями.


Заключительные примеры параграфа

предназначены для самостоятельного
решения.

Пример
40

Найти производную функции

Пример
41

Найти производную функции




Ну что же,
после таких геро
ических усилий пришло
время сбавить обороты:



© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


31

5.

Производные второго и более высоких порядков


На самом деле здесь тоже есть трудные примеры, но я ограничусь достаточно
простыми заданиями


чтобы у вас был
о
само понимание
, как находить вторую, третью,
четвёртую,  и т.д. производные.


Начнём с производной второго порядка. Всё очень просто. Вторая производная


это
производная от первой производной
:


Распространённые

обозначения второ
й производной
:


,

или

дробь читается

так
: дэ два игрек по дэ икс квадрат.


Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами.

Но
третий вариант тоже встречается, пр
ичем, его очень любят включать в условия
контрольных заданий, например: Найдите

функции. А студент сидит и битый
час чешет репу, что это вообще такое.


Рассмотрим простейший пример. Найдем вторую производную от функции
.


Для того чтобы найти вторую производную, как многие догадались, нужно сначала
найти первую производную:




Теперь находим вторую производную:




Готово.


Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример
42

Найти вторую производную функции


Найдем первую производную:




Теперь

нам предстоит дифференцировать произведение двух функций
, но

мы
избавимся от этой неприятности

(
золотое правило!
)
, применив известную
тригонометрическую формулу

.

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


32

Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении:
, в данном случае
:




Находим вторую производную:



Готово.


Можно было пойти другим путём


понизить степень функции еще перед
дифференцированием, используя формулу
:




Для интереса

возьмите пер
вую и вторую производные снова. Результаты,

естественно, должны совпасть
.


Формулы

запишите, зазубрите, запомните!


Для самостоятельного решения:

Пример
43

Найти вторую производную функции
.


На каждом шаге смотрим, нельзя ли что
-
нибудь упростить!


Наверное, многим уже понятно, что такое третья, четвё
ртая, пятая и т.д.
производная.


Найдём третью производную, например, в Примере
42
. Для
этого нужно взять
производную от второй производной:




Вот и всё! всё
только
начинается :


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


33

Распишем каноничный пример с многочленом
:



Найдём
первую
производную этой функции
:



И втор
ую
:



Т
рет
ья производная


есть

производная от 2
-
й производной:



Четвёртная производная


это

производная от 3
-
й производной:



Пятая производная:
, и очевидно, чт
о все производные более
высоких порядков тоже будут равны нулю:



Помимо римской нумерации на практике часто используют следующие
обозначения
:

, производную же энного

порядка обозначают
через
.
При этом надстрочный индекс нужно обязательно заключать в

скобки



чтобы отличать производную от игрека в степени.

Иногда встречается такая запись:



третья, четвёртая,
пятая, , энная

производные соответственно.


Вперёд б
ез страха и сомнений:

Пример
44

Дана функция
. Найти
.


Решение
: что тут попишешь


вперёд за четвёртой производной:








Четыре штриха ставить уже не принято, поэтому переходим на числовые индексы:




Ответ
:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


34

Хорошо, а теперь задумаемся над таким вопросом: что делать, если по условию
требуется найти не 4
-
ю, а

например,

20
-
ю производную?

Если для
3
-
4
-
5
-
й
производной
решение оформляется достаточно быстро, то до производных более высоких порядков мы
доберёмся ой как не скоро.
Не записывать же, в самом деле, 20 строк!


В подобной ситуации нужно
проанализировать несколько

найдённых
производных, увидеть закономерность и составить ф
ормулу энной

производной
. Так,
в
рассмотренном примере легко увидеть
, что при каждом следующем дифференцировании
перед экспонентой будет выскакивать дополнительная тройка, причём на любом шаге

степень тройки равна номеру производной, следовательно:


, где



произвольное натуральное число.


И действительно, если
, то получае
тся в точности 1
-
я производная:
, если



то 2
-
я:

и т.д. Таким образом, двадцатая
производная определяется мгновенно:



и никаких километровых
простыней!


Решаем
самостоятельно:

Пример
45

Найти

функции
. Записать производную

порядка



После бодрящей разминки рассмотрим более сложные примеры, в которых
отработаем в
ышеприведённый алгоритм решения
:

Пример
46

Найти

для функции
.


Решение
: чтобы прояснить ситуацию найдём несколько производных:





п
олученные

наверху

числа перемножать
не спешим! ;
-
)




Пожалу
й, хватит.



© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


35

На следующем шаге лучше всего составить формулу энной производной
коль
скоро, условие этого не требует, то можно обойтись черновиком
. Для этого
смотрим
на полученные результаты и выявляем закономерност
ь
, по которой

получается
каждая следую
щая производная.


Во
-
первых, они знакочередуются.
Поскольку 1
-
я производная положительна, то в
общую формулу войдёт

мигалка
:
. Подойдёт и эквивалентный вариант
, но лично я, как оптимист, люблю знак плюс 
)


Во
-
вторых, в числителе накручивается
факториал
, причём он отстаёт от
номера производной на одну единицу:



И
,

в
-
третьих, в числителе растёт степень двойки, кото
рая равна номеру
производной. То же самое можно сказать о степени знаменателя. Окончательно:




В целях проверки подставим парочку значений эн, например,

и
:




! Еще надёжнее

проверить все найденные производные
, т.е. подставить
1 и 2


Замечательно, теперь допустить ошибку


просто грех:




Ответ
:


Повторюсь, что составлять энную производную
здесь в
овсе не обязательн
о, но она
практически 100
%
-
но убережёт от ошибки! Поэтому настоятельно рекомендую.


Более простая функция для самостоятельного решения:

Пример
47

Найти

функции
.



И п
ереходим к
важней
шему

параграфу:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


36

6.

Производная функции, заданной неявно


Или короче


производная неявной функции.

Встречается часто и повсеместно.
Начнём с традиционного вопроса: что это такое
? И что такое вообще функция? Таки
сформулирую:


Функция

одной переменной



это правило, по которому каждому
зна
чению независимой переменной


соответствует одно и только одно значение
функции
.


Переменная

называется
независимой переменной

или

аргументом
.

Переменная

называется
зависимой переменной

или
функцией
.


Грубо говоря, буковка игрек в данном случае


и есть функция.


До сих пор мы рассматривали функции, заданные в
явном

виде. Что это значит?
Устроим разбор полёт
ов на конкретных примерах.


Рассмотрим функцию


Мы видим, что слева у нас одинокий игрек функция, а справа


только
иксы
. То есть, функция

в явном виде

выражена через независимую переменную
.


Рассмотрим другую функцию:



Здесь переменные

и

расположены вперемешку. Причём
никакими
способами невозможно

выразить игрек

в виде
. Что это з
а способы? Перенос
слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание
множителей по правилу пропорции и другие

школьные методы
. Перепишите равенство

на бумагу и попробуйте выразить игрек в явном виде:

. Можно крутить
-
вертеть уравнение часами, но у вас этого не
получится.


Разрешите познакомить:



пример
неявн
ой

функци
и
.


В курсе математического анализа доказано, что неявная функция
существует

однако не вс
егда
, у неё есть график
точно так же, как и у нормальной функции
. У
неявной функции точно так же
существует

при определённых условиях

первая
производная, вторая производная и т.д. Как говорится, все права секс
-
меньшинств
соблюдены. Хотя, если задум
аться, то это большинство 


И на этом уроке мы научимся находить производную от функции, заданной неявно.
Это не так сложно!

Тем более что

все правила дифференцирования и

таблица
производных
остаются в силе
!

Разница
будет
в одном своеобразном моменте, ко
торый
мы рассмотрим прямо сейчас.


Да, и сообщу хорошую новость


рассмотренные ниже задания выполняются по
довольно жесткому и чёткому алгоритму
:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


37

Пример
48

Найти производную от функции, заданной неявно


По
ехали:


1)

На первом этапе навешиваем штрихи на обе части:




2)

Используем правило линейности производной
помним такое?
:




3)

Непосредственное дифференцирование.


Как дифференцировать

и

совершенно понятно. Что делать там, где под
штрихами есть игреки?





просто до безобразия,
производная от функции равна её производной
:
.


Как дифференцировать


Здесь у нас
сложная функция
. Почему?
Потому что

буковка

игрек


САМА ПО
СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ

см. определение в начале параграфа
. Таким образом,
синус


внешняя функция,



внутренняя функция. Используем правило
дифферен
цирования сложной функции
:




Произведение дифференцируем по обычному правилу
:




Обратите внимание, что



тоже сложная функция,
и вообще


любой игрек
с

наворотами



это
сложная функция
:




Само оформление решения должно выглядеть примерно так:





Если есть скобки, то раскрываем их:



© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


38

4)

В левой ч
асти собираем слагаемые, в которых есть игре
к со штрихом. В
правую часть
переносим всё остальное:




5)

В левой части выносим производную

за скобки:




6)

И по правилу пропорции сбрасы
ваем эти скобки в знаменатель правой части:




Производная найдена. Готово.


Интересно отметить, что
в неявном виде можно переписать и обычную

функцию.
Например, функцию

можно переписать так:
. И

более того,
про
дифференцировать её по только что рассмотренному алгоритму.


На самом деле фразы
функция, заданная в неявном виде и неявная функция

отличаются одним смысловым нюансом. Фраза функция, заданная в неявном виде более
общая и
корректная,



эта функция задана в неявном виде, но здесь можно
выразить игрек и представить функцию в явном виде. Под фразой неявная функция
чаще
понимают классическую неявную функцию, когда игрек выразить нельзя.


Ра
ссмотр
им еще несколько примеров.

Пример
49

Найти производную от функции, заданной неявно


Навешиваем штрихи на обе части:




Используем свойство

линейности:




Находим

производные:





Раскрываем все скобки:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


39

Переносим все слагаемые с

в левую часть, остальное собираем в правой части:




В левой части вын
осим

за скобку:




Окончательный ответ:



Пример
50

Найти производную от функции, заданной неявно


Это пример для самостоятельного решени
я
.


Не редкость, когда после дифференцирования возникают дроби. В таких случаях от
дробей нужно избавляться
:

Пример
51

Найти производную от
неявной
функции


Заключаем обе части под штрихи и используем
свойст
во
линейности:





Дифференцируем, используя правило дифференцирования сложной функции

и правило дифференцирования частного
:









© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


40

Раскрываем скобки:




Теперь нам нужно избавиться от дроби. Это можно сделать и позже, но
рациональнее сделать сразу же. В знаменателе дроби находится
. Умножаем

обе част
и
на
. Если подробно, то выглядеть это будет так:




Примечание
: и
ногда после дифференцирования появляется 2
-
3 дроби. Если бы у
нас была еще одна дробь, например,
, то операцию нужно было

бы повторить


умножить
обе части
на
.


Далее алгоритм работает стандартно, после того, как все скобки раскрыты, все
дроби устранены, слагаемые, где есть игрек штрих
,

собираем в левой части, а в правую
часть переносим всё остально
е:




В левой части выносим

за скобку:




Окончательный ответ:



Пример
52

Найти производную от
неявной
функции


Э
то пример для самостоятельного решения. Единственное, в нём, перед тем как
избавиться от дроби, предварительно нужно будет избавиться от трехэтажности самой
дроби

см. Приложение
Горячие школьные формулы
)
.

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


41

7.

Производная
параметрически

заданной функции


Не н
апрягаемся, в заключительном

параграфе тоже всё просто. Можно записать
общую формулу пара
метрически заданной функции, но

для того, чтобы было понятно, я
сразу запишу конкретны
й пример. В параметрическом виде

функция задается двумя
уравнениями:
. Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а
последовательно:
,
.


Переменная

называется параметром

и может принимать значения от минус
бесконечности до пл
юс бесконечности. Рассмотрим, например, значение

и
подставим его в оба уравнения:
. Или по человечески: если икс равен
четырем, то игрек равно единице. На координатной плоскости можно отметить точку
, и эта точка будет соответствовать значению параметра
. Аналогично можно
найти точку для любого значения параметра тэ. Как и для обычной функции, для
параметрически заданной функции все права
обычно
тоже соблюден
ы: можно построить
график, найти производные и т.д.


В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде.
Выразим из первого уравнения

параметр:





и подставим его во второе уравнение:




в

результате получена обыкновенная кубическая
функция.


В более тяжелых случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому

что для нахождения производной параметрической функции существует формула:




Находим производную о
т игрека по переменной тэ:




Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы,
естественно, и для буквы
, таким образом,
какой
-
то новизны в самом процессе
нахождения производных нет
. Просто мы
сленно замените в таблице все иксы на
букву тэ.


Находим производную от икса по переменной тэ:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


42

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:




Готово. Производная, как и сама

функция, тоже зависит от параметра
.


Что касается обозначений, то в формуле вместо записи

можно было просто
записать

без подстрочного индекса, поскольку это обычная производная
по 
икс
.
Но в литературе чаще

встречается вариант
, поэтому я не буду отклоняться от
стандарта.

Пример
53

Найти производную от функции, заданной параметрически


Используем формулу


В данном случае:






Таким образом:



И зде
сь у нас снова актуален золотой

мотив:
на каждом шаге результат
выгодно максимально упрощать
. Так, в рассмотренном примере

при нахождении

я
раскрыл скобки под корнем хотя мог этого и не делать. Велик шанс, что при подстановке

и

в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры
и с корявыми ответами.


Самостоятельно:

Пример
54

Найти производную
функции


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


43

Для параметрически заданной функции
довольно часто предлагают найти и вторую
производную. Без проблем


вот готовая формула
:
.

Пример
55

Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически



Сначала найдем первую производную.

Используем формулу


В данном случае:





Подставляем

найденные производные в формулу. В целях упрощений используем
тригонометрическую формулу
:




Вот так
-
то оно лучше,
брать производную

от


гораздо проще
, чем
от
.

Распечатайте, кстати,
тригонометрические формулы
, если вы ещё не успели
это
го

сделать


материал
крайне
полезный
.


Вторую производную най
дём по формуле

.


Знаменатель

уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель


производную от первой производной по переменной тэ:





© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


44

Подставляем завоёванные трофеи в формулу

и проводим финальное упрощение
:




Готово.


Для закрепления материала
:

Пример
56

Найти

и

параметрически заданной функции



а


б


Решения и ответы
сов
сем близко
.


Поздравляю вас с прохождением курса,

теперь вы сможете найти практически любую производную!



И это не преувеличение


в
едь я задал достаточно высокую планку.


Более подробную информацию и дополнит
ельны
е примеры можно найти в
соответствующем разделе

п
ортала
mathprofi
.
ru

ссылка на аннотацию к разделу
.


Из учебной литературы рекомендую
К.А. Бохана
попроще
, Г.М. Фихтенгольца
посложнее
, Н.С. Пискунова
для ВТУЗов
.


Желаю успехов!

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


45

8.

Решения и ответы


Пример
4
. Решение
:




В ходе решения данного примера следует обратить внимание, на тот факт, что

и



постоянные числа, неважно чему они равны, важно, что это константы.

Поэтому

выносится за знак производной, а
.


Пример
7
. Решение
:




Пример
9
. Решение
:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


46

Пример
12
.

Решение
:





Пример
14
. Р
ешение
:






П
ример
16
. Решение
:




Пример
19
. Решение
:



Пример
21
. Решение
:


Пример
23
. Решение
:




© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


47

Ответы на Математический диктант
:


























© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


48

Пример
25
. Решение
:


а




б




Примечание
: ответ лучше оставить именно в таком виде



это значительно
облегчает
его
проверку


Пример
27
. Решение
:

п
реобразуем функцию:



Найдем производную:



Пример
29
. Решение
:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


49

Пример
31
. Решение
:



Примечание
: перед
дифференцированием можно было раскрыть скобки

и использовать правило

один раз.


Пример
33
. Решение
:




Пример
35
. Решение
: с
начала преобразуем функцию:



Найд
ем производную
. Используем правило дифференцирования сложной функции:



Пример
36
. Решение
: с
начала преобразуем

функцию:




Найдем производную:



Пример
38
. Решение
: и
спользуем логарифмическую производную:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


50



Дифференцируем обе части
:


Таким образом:



Пример
40
. Решение
: и
спользуем логарифмическую производную:





Пример
41
. Решение
: и
спользуем логарифмическую производную:






© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


51

Пример
43
. Решение
: н
айдем первую производную:



Найд
ем вторую производную:



Пример
45
. Решение
: найдём пятую производную:




Очевидно, что


Ответ
:


Пример
47
.

Решение
: найдём несколько производных:


Запишем энную производную:

Таким образом:


Ответ
:

© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


52

Пример
50
.

Решение
:









Таким образом:


Пример
52
.

Решение
:










Пример
54
.

Решение
:

и
спользуе
м формулу
.
В данном случае:





Таким образом:


© Емелин А.,
http
://
mathprofi
.
ru
, Высшая математика


просто и доступно!


53

Пример
56
. Решение
:


а

Найдем первую производную.

Используем формулу
:
.

В данном случае:






Вторую производную найдём по формуле
.




Таким образом:



б

Найдём пе
рвую производную:





Вторая производная:





В результате
:



Приложенные файлы

  • pdf 9611538
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий