180401 Математика — Пробный вариант №22 с решением


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


1

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



ˎсновной ˃осуˤарственный ˝кзамен по

ˌˀТ˅ˌˀТˈˊ˅, 9 класс


ˈнструк˶ия по выполнени˾ работы

ːабота состоит из ˤвух моˤулей: įˀлгебраİ и į˃еометрияİ. Всего

в работе 26 заˤаний. ˌоˤуль
įˀлгебраİ соˤержит семнаˤ˶ать заˤаний:

в части 1
ĸ

четырнаˤ˶ать заˤаний; в части 2
ĸ

три заˤания. ˌоˤуль

į˃еометрияİ соˤержит ˤевять заˤаний: в части 1
ĸ

˸есть заˤаний; в части
2
ĸ

три заˤания.

ˍа выполнение ˽кзамена˶ионной работы по математике отвоˤится

3

часа 55 минут (235 минут).

ˎтветы к заˤаниям 2, 3, 14 запи˸ите в бланк ответов ̑ 1 в виˤе
оˤной ˶ифры, которая соответствует номеру правильного ответа.

˄ля остальных заˤаний части 1 ответом является число или

послеˤовательность ˶ифр. ˎтвет запи˸ите в поле

ответа в тексте работы,

а затем перенесите в бланк ответов ̑ 1. ˅сли в ответе получена

обыкновенная ˤробь, обратите её в ˤесятичну˾.

ːе˸ения заˤаний части 2 и ответы к ним запи˸ите на бланке

ответов ̑ 2. ˇаˤания можно выполнять в л˾бом поряˤке, начиная с
л˾бого

моˤуля. Текст заˤания переписывать не наˤо, необхоˤимо только указать
его

номер.

Сначала выполняйте заˤания части 1. ˍачать советуем с тех
заˤаний, которые вызыва˾т у Вас мень˸е затруˤнений, затем перехоˤите к
ˤругим заˤаниям. ˄ля ˽кономии времени п
ропускайте заˤание, которое не
уˤаётся выполнить сразу, и перехоˤите к слеˤу˾˹ему. ˅сли у Вас
останется время, Вы сможете вернуться к пропу˹енным заˤаниям.

При выполнении части 1 все необхоˤимые вычисления,

преобразования выполняйте в черновике. ˇаписи в ч
ерновике

не учитыва˾тся при о˶енивании работы. ˅сли заˤание соˤержит рисунок,
то

на нём непосреˤственно в тексте работы можно выполнять необхоˤимые
Вам построения. ːекоменˤуем внимательно читать условие и провоˤить
проверку полученного ответа.

При выполнен
ии работы Вы можете воспользоваться справочными

материалами, выˤанными вместе с вариантом.

ˁаллы, полученные Вами за выполненные заˤания, суммиру˾тся.

Постарайтесь выполнить как можно боль˸е заˤаний и набрать наиболь˸ее

количество баллов.


ˆелаем успеха!

˗
асть 1

ˎтветами к заˤаниям 1
ķ
20 явля˾тся ˶ифра, число или

послеˤовательность ˶ифр, которые слеˤует записать в ˁˋˀˍˊ

ˎТВ˅ТˎВ ̑ 1 справа от номера соответству˾˹его заˤания,
начиная

с первой клеточки. ˅сли ответом является послеˤовательность
˶ифр, то запи˸ите её
без пробелов, запятых и ˤругих
ˤополнительных символов
. ˊажˤый символ пи˸ите в отˤельной
клеточке в соответствии с привеˤёнными в бланке образ˶ами.


ˌоˤуль įˀлгебраİ


ˍайˤите значение выражения

ϻ
Ͻ
ɩ
Ϻ
ϹϽ
ɪ


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.


В табли˶е ˤаны результаты забега мальчиков 8 класса на ˤистан˶и˾ 60 м.
ˇачёт выставляется при условии, что показан результат не хуже 10,5 с.


ˍомер ˤорожки

I

II

III

IV

Время (в
с)

10,6

9,7

10,1

11,4


˓кажите номера ˤорожек, по которым бежали мальчики, получив˸ие
зачёт.

1) только
I

2)
только
II

3)
I
,
IV

4)
II
,
III



ˎтвет:









1

2

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


2

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



ˊакому из ˤанных промежутков принаˤлежит число


?

1)

[
ϸ
ɧ
Ϲ
ɨ
ϸ
ɧ
Ϻ
]

2)

[
ϸ
ɧ
Ϻ
ɨ
ϸ
ɧ
ϻ
]

3
)

[
ϸ
ɧ
ϻ
ɨ
ϸ
ɧ
ϼ
]

4
)

[
ϸ
ɧ
ϼ
ɨ
ϸ
ɧ
Ͻ
]



ˎтвет:



ˊакое из ˤанных ниже чисел является значением выражения

(
ф
Ͻ

ϻ
)
(
ф
Ͻ

ϻ
)
?


1)
Ϻ

2)

ϼ

3)
ϼ

4)
Ϲϼ


ˎтвет:






















ˍа графике показано изменение температуры возˤуха на протяжении трёх
суток. По горизонтали указывается ˤата

и время, по вертикали
ķ

значение
температуры в граˤусах ˖ельсия. ˎпреˤелите по графику наиболь˸у˾
температуру возˤуха 7 августа. ˎтвет ˤайте в граˤусах ˖ельсия.




ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.

ːе˸ите уравнение

ߚ


ϹЀ
=
Ͽ
ߚ
ɪ

˅сли уравнение имеет

более оˤного корня, в ответ запи˸ите боль˸ий из
корней.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.


˄ля приготовления фар˸а взяли говяˤину и свинину в отно˸ении 19:1.
Сколько про˶ентов фар˸а составляет свинина
?


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.



3

4

5

6

7

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


3

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



ˍа ˤиаграмме показано соˤержание питательных ве˹еств в молочном
˸околаˤе. ˎпреˤелите по ˤиаграмме, в каких преˤелах нахоˤится
соˤержание углевоˤов.




*к прочему относятся воˤа, витамины и минеральные ве˹ества


1) 5
-
15%

2) 15
-
25%

3) 45
-
55%

4) 60
-
70%


В от
вете запи˸ите номер выбранного варианта ответа.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.



В магазине кан˶товаров проˤаётся 100 ручек: 37 красных, 8 зелёных, 17
фиолетовых, остальные синие и чёрные, их поровну. ˍайˤите вероятность
того, что случайно
выбранная в ˽том магазине ручка буˤет красной или
чёрной.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.

˓становите соответствие межˤу функ˶иями и их графиками.




В табли˶е поˤ кажˤой буквой укажите соответству˾˹ий номер.



ˎтвет:



Выписано несколько послеˤовательных членов арифметической
прогрессии:


ı; 12;
ߚ
; 6; 3; ı


ˍайˤите
ߚ
.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.


ˍайˤите значение выражения


(
ߚ

ϻ
)
ɩ
ߚ


Ͼ
ߚ

Ё
ߚ

ϻ


при
ߚ
=

ϺϹ
.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.


8

9

10

11

12

ˀ

ˁ

В

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


4

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



˖ентростремительное ускорение при ˤвижении по окружности (в
͕
ʆ
͚

)
вычисляется по формуле
߃
=


޺
, гˤе



угловая скорость

͚


),
޺


раˤиус окружности (в метрах). Пользуясь ˽той формулой, найˤите раˤиус
޺
, если угловая скорость равна 4
͚


, а ˶ентростремительное ускорение
равно 48
͕
ʆ
͚

. ˎтвет ˤайте в метрах.



ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.



˓кажите ре˸ение неравенства


ϻ
ߚ

Ϻ
(
ߚ

Ͻ
)


Ͼ
ɪ


Ϲ
)

[
ϼ
ɨ

с
)

Ϻ
)

(

с
ɨ
ϼ
]

ϻ
)

(

с
ɨ

ϹϾ
]

ϼ
)

[

ϹϾ
ɨ

с
)


ˎтвет:


ˌоˤуль į˃еометрияİ


ˍаклонная кры˸а
установлена на трёх вертикальных опорах, основания
которых расположены на оˤной прямой. Среˤняя опора стоит посереˤине
межˤу малой и боль˸ой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м,
высота боль˸ой опоры 2,8 м. ˍайˤите высоту среˤней опоры. ˎтвет ˤайте

в метрах.





ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.

ˍайˤите боль˸ий угол равнобеˤренной трапе˶ии
ީުޫެ
, если ˤиагональ
ީޫ

образует с основанием
ީެ

и боковой стороной
ީު

углы, равные
ϼϾп

и
Ϲп

соответственно. ˎтвет ˤайте в граˤусах.




ˎтвет:

___________________________.


˗ерез точку
ީ
, лежа˹у˾ вне окружности, провеˤены ˤве прямые. ˎˤна
прямая касается окружности в точке
޳
. ˄ругая прямая пересекает
окружность в точках
ު

и
ޫ
, причём
ީ
ު
=
Ϻ
,
ު
ޫ
=
Ͼ
. ˍайˤите
ީ
޳
.




ˎтвет:
___________________________.


Периметр треугольника равен 50, оˤна из сторон равна 20, а раˤиус
вписанной в него окружности равен 4. ˍайˤите пло˹аˤь ˽того
треугольника.




ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.

13

14

15

16

17

18

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


5

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104




ˍа клетчатой бумаге с размером клетки
Ϲ

Ϲ

изображён треугольник.
ˍайˤите его пло˹аˤь.





ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.



ˊакие из слеˤу˾˹их утвержˤений верны?


1) Пло˹аˤь треугольника мень˸е произвеˤения ˤвух его сторон.

2) ˓гол, вписанный в
окружность, равен соответству˾˹ему ˶ентральному
углу, опира˾˹емуся на ту же ˤугу.

3) ˗ерез точку, не лежа˹у˾ на ˤанной прямой, можно провести пряму˾,
перпенˤикулярну˾ ˽той прямой.


В ответ запи˸ите номера выбранных утвержˤений без пробелов, запятых и
ˤруги
х ˤополнительных символов.


ˎтвет: ÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈÈ.


ˍе забуˤьте перенести все ответы в бланк ответов ̑ 1 в
соответствии

с инструк˶ией по выполнени˾ работы.


˗асть 2


При выполнении заˤаний 21
ķ
26 используйте ˁˋˀˍˊ ˎТВ˅ТˎВ ̑ 2.

Сначала укажите

номер заˤания, а затем запи˸ите его ре˸ение и

ответ. Пи˸ите чётко и разборчиво.


ˌоˤуль įˀлгебраİ


ːе˸ите уравнение

ߚ


ϻ
ߚ


ߚ

ϻ
=
ϸ
ɪ

Свежие фрукты соˤержат 80% воˤы, а высу˸енные
ķ

28%. Сколько
требуется свежих фруктов ˤля приготовления 80
кг высу˸енных фруктов?



Постройте график функ˶ии

ߛ
=
ϻ
ʇ
ߚ
ʇ

Ϲ
ʇ
ߚ
ʇ

ϻ
ߚ

ɪ

ˎпреˤелите, при каких значениях
ߍ

прямая
ߛ
=
ߍߚ

не имеет с графиком
об˹их точек.



ˌоˤуль į
˃еометрия



ˍайˤите бокову˾ сторону
ީު

трапе˶ии
ީު
ޫެ
, если углы
ީު
ޫ

и
ު
ޫެ

равны соответственно
ϼϽп

и
ϹϺϸп
, а
ޫެ
=
ϼϸ
.


В выпуклом четырёхугольнике
ީ
ުޫެ

углы
ުޫީ

и
ުެީ

равны. ˄окажите,
что углы
ީ
ުެ

и
ީ
ޫެ

также равны.


В треугольнике
ީުޫ

биссектриса угла
ީ

ˤелит высоту, провеˤённу˾ из
вер˸ины
ު
, в отно˸ении
Ͻ
ɩ
ϻ
, считая от точки
ު
. ˍайˤите раˤиус
окружности, описанной около треугольника
ީުޫ
, если
ުޫ
=
Ѐ
.


















19


ˎ проекте įПробный ˅˃˝ кажˤу˾ неˤел˾İ

˄анный ким составлен команˤой всероссийского волонтёрского проекта
į˅˃˝ 100 балловİ
https://vk.com/ege100ballov

и безвозмезˤно
распространяется ˤля л˾бых некоммерческих образовательных ˶елей.


ˍа˸ли о˸ибку в варианте?

ˍапи˸ите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

˄ля замечаний и
пожеланий:

https://vk.com/topic
-
10175642_35994898

(также ˤоступны ˤругие варианты ˤля скачивания)



20

22

21

23

24

25

26

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


6

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



СˎСТˀВˈТ˅ˋ˜ ВˀːˈˀˍТˀ:

˔ˈˎ:


˅вгений Пифагор

Преˤмет:


ˌатематика

Стаж:


6 лет
репетиторской ˤеятельности

ːегалии:

ˎснователь и руковоˤитель проекта ˘кола Пифагора


ˀккаунт Вˊ:

https://vk.com/eugene10

Сайт и ˤоп.
информа˶ия:


https://
youtube
.com/
˘колаПифагора


























Система о˶енивания ˽кзамена˶ионной работы
по математике

ˇа правильный ответ на кажˤое из заˤаний 1
ķ
20 ставится 1 балл.


ˎтветы к заˤаниям части 1


ˍомер заˤания

Правильный ответ

1

4
,
5

2

4

3

2

4

2

5

30

6

9

7

5

8

3

9

0,
56

10

123

11

9

12

0,75

13

3

14

3

15

2,
3

16

133

17

4

18

100

19

9

20

1
3


ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


7

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



ːе˸ения заˤаний части 2

ˌоˤуль įˀлгебраİ


ːе˸ите уравнение

ߚ


ϻ
ߚ


ߚ

ϻ
=
ϸ
ɪ

.

ːе˸ение:

Вынесем об˹ий множитель за скобку:

ߚ

(
ߚ

ϻ
)

(
ߚ

ϻ
)

(
ߚ

ϻ
)
(
ߚ


Ϲ
)
=
ϸ

ߚ

ϻ
=
ϸ

ߚ
=

ϻ

ߚ


Ϲ
=
ϸ

ߚ

=
Ϲ

ߚ
=

Ϲ


ˎтвет:
-
3;
-
1; 1


Свежие фрукты соˤержат 80% воˤы,

а высу˸енные
ķ

28%. Сколько
требуется свежих фруктов ˤля приготовления 80 кг высу˸енных фруктов?



ːе˸ение:


Свежие фрукты

Высу˸енные фрукты

80% воˤы

20% сухого ве˹ества

28% воˤы

72% сухого ве˹ества

ϽϿ
ɧ
Ͼ

͓͌

ϺϸЮ

ߚ

͓͌

ϹϸϸЮ


ߚ
=
ϽϿ
ɧ
Ͼ
д
Ϲϸϸ
Ϻϸ
=
ϺЀЀ

͓͌

Ѐϸ

͓͌

ϹϸϸЮ

ߚ

͓͌

ϿϺЮ


ߚ
=
Ѐϸ
д
ϿϺ
Ϲϸϸ
=
ϽϿ
ɧ
Ͼ

͓͌


ˎтвет: 288


Постройте график функ˶ии

ߛ
=
ϻ
ʇ
ߚ
ʇ

Ϲ
ʇ
ߚ
ʇ

ϻ
ߚ

ɪ

ˎпреˤелите, при каких значениях
ߍ

прямая
ߛ
=
ߍߚ

не имеет с графиком
об˹их точек.



ːе˸ение:

ːаскрываем моˤуль ˤвумя случаями:

ߚ

ϸ

Тогˤа

ߛ
=
ϻ
ߚ

Ϲ
ߚ

ϻ
ߚ


Вынесем в знаменателе
ʈ
ߚ

за
скобку

ߛ
=
ϻ
ߚ

Ϲ

ߚ
(
ϻ
ߚ

Ϲ
)


ˎ˄ˇ:


ߚ

ϸ

ߚ

ϸ

ϻ
ߚ

Ϲ

ϸ

ϻ
ߚ

Ϲ

ߚ

Ϲ
ϻ


После нахожˤения ˎ˄ˇ сократим:


ߛ
=

Ϲ
ߚ

ߚ

ϸ

Тогˤа

ߛ
=

ϻ
ߚ

Ϲ

ߚ

ϻ
ߚ


Вынесем в знаменателе
ʈ
ߚ

за
скобку, а в числителе
ʈ
Ϲ

ߛ
=

(
ϻ
ߚ

Ϲ
)

ߚ
(
ϻ
ߚ

Ϲ
)


ˎ˄ˇ:


ߚ

ϸ

ߚ

ϸ

ϻ
ߚ

Ϲ

ϸ

ϻ
ߚ


Ϲ

ߚ


Ϲ
ϻ


После нахожˤения ˎ˄ˇ сократим:


ߛ
=
Ϲ
ߚ


Получаем кусочно
-
заˤанну˾ функ˶и˾:


ߛ
=


Ϲ
ߚ





͙͑͘

ߚ

ϸ
Ϲ
ߚ





͙͑͘

ߚ

ϸ


ˇаполним табли˶у значений функ˶ии:

ߚ


Ϻ


Ϲ


ϸ
ɧ
Ͻ


Ϲ
ϻ

Ϲ
ϻ

ϸ
ɧ
Ͻ

Ϲ

Ϻ

ߛ


ϸ
ɧ
Ͻ


Ϲ


Ϻ


ϻ


ϻ


Ϻ


Ϲ


ϸ
ɧ
Ͻ


Построим график и провеˤём прямые
ߛ
=
ߍߚ
, при которых не буˤет об˹их
точек с графиком:


22

21

23

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


8

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104





Поˤхоˤит:

1) ось абс˶исс;

2) ˤве прямые, прохоˤя˹ие через įвыколотыеİ точки


1)
ߍ
=
ϸ


2) ˍайˤём ко˽ффи˶иент
ߍ

у прямой, прохоˤя˹ей через выколоту˾ точку


ߛ
=
ߍߚ

прохоˤит через точку
(



ɨ

ϻ
)

ˇначит
ߚ
=




и
ߛ
=

ϻ



ϻ
=
ߍ
д
(

Ϲ
ϻ
)

ߍ
=
Ё


ߛ
=
ߍߚ

прохоˤит через точку
(


ɨ

ϻ
)

ˇначит
ߚ
=



и
ߛ
=

ϻ



ϻ
=
ߍ
д
Ϲ
ϻ

ߍ
=

Ё


ˎтвет:
-
9; 0; 9


ˌоˤуль į˃еометрияİ


ˍайˤите бокову˾ сторону
ީު

трапе˶ии
ީު
ޫެ
, если углы
ީު
ޫ

и
ު
ޫެ

равны соответственно
ϼϽп

и
ϹϺϸп
, а
ޫެ
=
ϼϸ
.


ːе˸ение:


ˎпустим высоты
ޫް

и
ު޳
:


٧
ެޫް
=
ϹϺϸ

Ёϸ
=
ϻϸп

__________________________________________________________

Свойство прямоугольного треугольника

24

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


9

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104




ˊатет, лежа˹ий напротив угла
30
п
, равен половине гипотенузы

__________________________________________________________

ެް
=
Ϲ
Ϻ
д
ޫ
ެ
=
Ϲ
Ϻ
д
ϼϸ
=
Ϻϸ


ˍайˤём
ޫް

по теореме Пифагора:

__________________________________________________________

Теорема Пифагора


ˊваˤрат гипотенузы равен сумме кваˤратов катетов

߅

=
߃


߄


__________________________________________________________

ޫެ

=
ެް


ޫް


ϹϾϸϸ
=
ϼϸϸ

ޫް


ޫް

=
ϹϺϸϸ
=
ϼϸϸ
д
ϻ

ޫް
=
Ϻϸ
ф
ϻ
=
ު޳


٧
ުީ޳
=
ϹЀϸ

Ёϸ

ϼϽ
=
ϼϽп



ުީ޳


прямоугольный

и
равнобеˤренный


ˍайˤём гипотенузу по теореме Пифагора:

ީު

=
ϹϺϸϸ

ϹϺϸϸ

ީު

=
Ϻϼϸϸ
=
ϼϸϸ
д
Ͼ

ީު
=
Ϻϸ
ф
Ͼ


ˎтвет:
Ϻϸ
ф
Ͼ


В выпуклом четырёхугольнике
ީ
ުޫެ

углы
ުޫީ

и
ުެީ

равны. ˄окажите,
что углы
ީ
ުެ

и
ީ
ޫެ

также равны.


ːе˸ение:


__________________________________________________________

Признак вписанного в окружность четырёхугольника


˅сли угол межˤу стороной и ˤиагональ˾ равен углу межˤу
противоположной стороной и ˤругой ˤиагональ˾, то такой
четырёхугольник м
ожно вписать в окружность

__________________________________________________________

25

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


10

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



1

˗етырёхугольник
ީ
ުޫެ

можно вписать в окружность по признаку
вписанного в окружность четырёхугольника (т.к.
٧
ުޫީ
=
٧
ުެީ
)

2

__________________________________________________________

Вписанный угол


Вписанный угол равен половине ˤуги, на котору˾ он опирается

__________________________________________________________

٧
ީ
ުެ
=
٧
ީ
ޫެ

(т.к. ˽то вписанные углы, оп
ира˾˹иеся на оˤну и ту же
ˤугу
ީ
ެ
)

ٜ


В треугольнике
ީުޫ

биссектриса угла
ީ

ˤелит высоту, провеˤённу˾ из
вер˸ины
ު
, в отно˸ении
Ͻ
ɩ
ϻ
, считая от точки
ު
. ˍайˤите раˤиус
окружности, описанной около треугольника
ީުޫ
, если
ުޫ
=
Ѐ
.


ːе˸ение:


1

˓ нас есть сторона

ުޫ
, а требуется найти раˤиус описанной окружности.
ˎчевиˤно, что зˤесь напра˸ивается теорема синусов, не хватает только
ěđĖ
ީ


Пусть

ް


основание перпенˤикуляра из точки
ު

на
ީޫ

ީ
޵


биссектриса


ީުޫ

ީ
޵
ٰ
ުް
=
޳

ު޳
=
Ͻ
ߚ

޳ް
=
ϻ
ߚ

2

__________________________________________________________

Свойство биссектрисы


26

ˌатематика. 9 класс


Тренировочный вариант ̑
22

от
01
.0
4
.201
8


11

/
11




201
8

Всероссийский проект į
ˎ˃˝ 100 ˁˀˋˋˎВ

http://
vk
.
com
/
oge
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



ː
азре˸ается свобоˤное копирование в некоммерческих образовательных ˶елях



Тː˅ˍˈːˎВˎ˗ˍ˛ˉ ˊˈˌ ̑
180104



߃

߄

=
߃
߄

__________________________________________________________

ːассмотрим

ީުް

ީ޳


биссектриса


ު޳
޳ް
=
ީު
ީް

(
͗͘

͚͚͋͗͒͛͋͜

͚͚͎͓͙͚͊͑͛͑ͤ
)


Ͻ
ߚ
ϻ
ߚ
=
ީު
ީް


Ͻ
ϻ
=
ީު
ީް


Пусть

ީު
=
Ͻ
ߛ

ީް
=
ϻ
ߛ

__________________________________________________________

Теорема Пифагора


ˊваˤрат гипотенузы равен сумме кваˤратов катетов

߅

=
߃


߄


__________________________________________________________

ީު

=
ުް


ީް


(по теореме Пифагора)

ުް

=
ީު


ީް


ުް

=
(
Ͻ
ߛ
)


(
ϻ
ߛ
)


ުް

=
ϺϽ
ߛ


Ё
ߛ

=
ϹϾ
ߛ


ުް
=
ϼ
ߛ


ěđĖ
ީ
=
ުް
ީު
=
ϼ
ߛ
Ͻ
ߛ
=
ϼ
Ͻ

3

__________________________________________________________

Теорема синусов


߃
ěđĖ

=
Ϻ
޺

или

߃
ěđĖ

=
߄
ěđĖ

=
߅
ěđĖ

=
Ϻ
޺

__________________________________________________________

ުޫ
ěđĖ
ީ
=
Ϻ
޺

(
͗͘

͎͙͎͕͎͛͗

͚͖͚͑͗͋͜
)


Ѐ
ϼ
Ͻ
=
Ϻ
޺

Ϲϸ
=
Ϻ
޺

޺
=
Ͻ


ˎтвет:
5



Приложенные файлы

  • pdf 9603535
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий