180311 Профильная математика — Пробный вариант №34 с решением


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


1

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311




Единый государственный экзамен

по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из двух частей, включающих в себя
21 задание. Часть 1
содержит 8

заданий базового уровня сложности с
кра
тким ответом. Часть 2 содержит 4 задания

повышенного уровня

сложности с кратким ответом и 7

заданий повышенного и высокого
уровней сложности с развёрнутым ответом.

На выполнение экзаменационной работы по ма
тематике отводится 3
часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1

12

записываются по приведённому ниже
образцу в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа
запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк
ответов № 1.




При выполнении заданий 13

19

требуется записать полное решение и
ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.
Допускается использование гелевой, капиллярной или перьевой ручек.

При выполнении заданий можно пользоваться черновиком. Записи в
черновике не учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество балл
ов.



Желаем успеха!


Справочные материалы

sin
2
ߙ
+
cos
2
ߙ
=
1

sin
2
ߙ
=
2
sin
ߙ

cos
ߙ

cos
2
ߙ
=
cos
2
ߙ

sin
2
ߙ

sin
(
ߙ
+
ߚ
)
=
sin
ߙ

cos
ߚ
+
cos
ߙ

sin
ߚ

cos
(
ߙ
+
ߚ
)
=
cos
ߙ

cos
ߚ

sin
ߙ

sin
ߚ

Ответом к заданиям
1

12

является целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,
затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №
1

справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую
цифру, знак «минус» и запятую пишите в
отдельной клеточке в
соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.


Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого
показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м.
Какова скоро
сть автомобиля в километрах в час, если спидометр
показывает 61 милю в час? Ответ округлите до целого числа.


Ответ: ___________________________.


На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха (в градусах
Цельсия) в Южно
-
Сахалинске по результатам многолетних наблюдений.
Найдите по диаграмме количество месяцев с начала апреля по конец
ноября, когда среднемесячная температура в Южно
-
Сахалинс
ке ниже
10°
С
.




Ответ: ___________________________.

1

2

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


2

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



На клетчатой бумаге с размером клетки
1
×
1

изображён треугольник.
Найдите радиус описанной около него окружности.




Ответ: ___________________________.


На экзамене по геометрии школьник
отвечает на один вопрос из списка
экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме
«Вписанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по
теме «Внешние углы», равна 0,35. Вопросов, которые одновременно
относятся к этим дву
м темам, нет. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.


Ответ: ___________________________.



Найдите корень уравнения

3
log
9
(
4

+
1
)
=
9
Ǥ


Ответ: ___________________________.

В четырёхугольник
ܣܤܥܦ

вписана окружность,

ܣܤ
=
22
,
ܥܦ
=
17
. Найдите периметр
четырёхугольника
ܣܤܥܦ
.


Ответ: ___________________________.



На рисунке изображён график дифференцируемой функции

ݕ
=

(
ݔ
)
, определённой на интервале
(

3
Ǣ
8
)
. Найдите точку из отрезка
[

2
Ǣ
5
]
, в которой производная функции


(
ݔ
)

равна 0
.





Ответ: ___________________________.


Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины
ܣ
1
,
ܤ
1
,
ܨ
1
,
ܣ

правильной шестиугольной призмы
ܣܤܥܦܧܨ
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
ܦ
1
ܧ
1
ܨ
1
,
площадь
основания которой равна 12, а боковое ребро равно 15.




Ответ: ___________________________.

3

4

5

6

7

8

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


3

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Найдите значение выражения

24
sin
2
127°
+
4
+
sin
2
217°
Ǥ


Ответ: ___________________________.


Наблюдатель находится на высоте

, выраженной в метрах. Расстояние от
наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в
километрах, вычисляется по формуле

=



500
, где
ܴ
=
6400

км


радиус
Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию
горизонта на расстоянии

64 километра? Ответ дайте в метрах.


Ответ: ___________________________.


Расстояние между городами
A

и
B

равно 630 км. Из города
A

в город
B

выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из
города
B

выехал со скоростью 70 км
/
ч второй автомобиль. Найдите
скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии
350 км от города
A
. Ответ дайте в км
/
ч.


Ответ: ___________________________.


Найдите наименьшее значение функции

ݕ
=
18
ݔ

10
sin
ݔ
+
15

на

отрезке

[
0
Ǣ

2
]
Ǥ


Ответ: ___________________________.


Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №
1

в
соответствии с инструкцией по выполнению работы.




Часть 2


Для записи решений и ответов на задания
13

19

используйте БЛАНК
ОТВЕТОВ №
2
. Запишите сначала номер
выполняемого задания (
13,
14

и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы
записывайте чётко и разборчиво.


а) Решите уравнение

8


3

2

+
2
+
2
5


=
0
Ǥ

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[
log
4
5
Ǣ

3
]
Ǥ


В основа
нии четырёхугольной пирамиды
ܵܣܤܥܦ

лежит прямоугольник
ܣܤܥܦ

со сторонами
ܣܤ
=
8

и
ܤܥ
=
6
. Длины боковых рёбер пирамиды
ܵܣ
=

21
,
ܵܤ
=

85
,
ܵܦ
=

57
.


а) Докажите, что
ܵܣ


высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми
ܵܥ

и
ܤܦ
.


Решите
неравенство

15


3

+
1

5

+
1
+
15

ݔ
2
+
2
ݔ

0
Ǥ


В треугольнике
ܣܤܥ

точки
ܣ
1
,
ܤ
1

и
ܥ
1


середины сторон
ܤܥ
,
ܣܥ

и
ܣܤ

соответственно,
ܣ



высота,

ܤܣܥ
=
60°
,

ܤܥܣ
=
45°
.


а)
Докажите, что точки
ܣ
1
,
ܤ
1
,
ܥ
1

и


лежат на одной окружности.

б)
Найдите
ܣ
1

, если
ܤܥ
=
2

3
.







9

10

11

12

13

14

15

16

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


4

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:




каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;



с

февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;



в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.


Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита,
если наибольший годово
й платёж составит 9 млн рублей?




Найдите все значения
ܽ
, при каждом из которых уравнение

ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2
=
|
ݔ

2
+
ܽ
|
+
|
ݔ

ܽ
+
2
|

имеет единственный корень.



На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно
-
3,
среднее арифметическое всех
положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно
-
8.



а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количест
во положительных чисел может быть среди
них?






























СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА
:

ФИО:


Евгений Пифагор

Предмет:


Математика

Стаж:


6 лет репетиторской деятельности

Регалии:

Основатель и руководитель проекта Школа

Пифагора


Аккаунт ВК:

https://vk.com/eugene10

Сайт и доп.
информация:


https://
youtube
.com/
ШколаПифагора

17

18

19


О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта
«ЕГЭ 100 баллов»
https://vk.com/ege100ballov

и безвозмездно
распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.


Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожеланий:

https://vk.
com/topic
-
10175642_35994898

(также доступны другие варианты для скачивания)



Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


5

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Система оценивания

Ответы к заданиям 1
-
19


Каждое из заданий 1

1
2

считается выполненными верно, если
экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной
десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1
баллом.


Верно выполненные задания 1
3
-
1
5

максимум оцениваются в 2 балла,
задания
1
6
-
1
7



в 3

балла, а

задания

18
-
19



в 4 балла.



задания

Ответ

1

9
8

2

4

3

3,5

4

0,
55

5

20

6

78

7

2

8

1
0

9

4
,
8

1
0

320

1
1

50

1
2

15

13

а)
1
;
1
ǡ
5
.

б
)

1
ǡ
5


14

arccos
14
55

15

(
0
Ǣ
log
5
3
]

[
log
3
5
Ǣ
2
)

16

1

17

80,5 млн

18

ܽ
=
0
;
ܽ
=
4

19

а) 44, б) отрицательных, в)

17






Решения и критерии оценивания заданий

13

19


Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13

19, зависит

от полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий с развёрнутым

ответом: решение
должно быть
математически грамотным, полным, все возможные

случаи
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записи

и

формы
записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
получен правильный ответ, выставляется максимальное количество балло
в.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0

баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут использоваться

без

доказательства

и
ссыло
к любые математические факты, содержащиеся в учебниках и
учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников,
рекомендуемых к использованию при реализации имеющих
государственную аккредитацию образовательных программ среднего
общего

образования.


а) Решите уравнение

8


3

2

+
2
+
2
5


=
0
Ǥ

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

[
log
4
5
Ǣ

3
]
Ǥ

.

Решение:

а)

__________________________________________________________

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

ܽ


ܽ

=
ܽ

+


__________________________________________________________

Деление степеней с одинаковыми основаниями

ܽ

ǣ
ܽ

=
ܽ




__________________________________________________________

8


3

2
2

2

+
2
5
2

=
0


8


12

2

+
32
2

=
0


13

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


6

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



16


12

4

+
32
2

=
0


16


12

4

+
32
=
0


Пусть
4

=




2

12

+
32
=
0

ܦ
=
ܾ
2

4
ܽܿ
=
144

128
=
16
=
4
2


1
=

ܾ
+

ܦ
2
ܽ
=
12
+
4
2
=
8


2
=

ܾ


ܦ
2
ܽ
=
12

4
2
=
4


4

=
4

4

=
4
1

ݔ
=
1

4

=
8

2
2

=
2
3

2
ݔ
=
3

ݔ
=
1
ǡ
5


б)

Оценим значения границ отрезка


log
4
4
<
log
4
5
<
log
4
16

1
<
log
4
5
<
2



2
ǡ
25
<

3

1
ǡ
5
<

3


�=

ݔ
=
1

[
log
4
5
Ǣ

3
]


Сравним
log
4
5

и
1
ǡ
5

log
4
5

и
log
4
4
1
ǡ
5

5

и
4
1
ǡ
5



^
2

5
2

и
4
3

25

и
64

=


log
4
5
<
1
ǡ
5

�=

1
ǡ
5

[
log
4
5
Ǣ

3
]


Ответ: а)
1
;
1
ǡ
5
. б)
1
ǡ
5


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте
а

или в
пункте
б

ИЛИ

Получены неверные ответы из
-
за вычислительной ошибки,
но при этом имеется верная последовательность всех
шагов решения обоих пунктов


пункта
а

и пункта
б


1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



В основании четырёхугольной пирамиды
ܵܣܤܥܦ

лежит прямоугольник
ܣܤܥܦ

со сторонами
ܣܤ
=
8

и
ܤܥ
=
6
. Длины боковых рёбер пирамиды
ܵܣ
=

21
,
ܵܤ
=

85
,
ܵܦ
=

57
.


а) Докажите, что
ܵܣ


высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми
ܵܥ

и
ܤܦ
.

.

Решение:

а)

14

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


7

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311




Заметим, что в

ܣܤܵ

выполняется теорема Пифагора:

ܵܤ
2
=
ܵܣ
2
+
ܣܤ
2


85
2
=

21
2
+
8
2

85
=
21
+
64

85
=
85

�=

ܣܤܵ


прямоугольный и

ܵܣܤ
=
90°

по теореме, обратной теореме
Пифагора


Заметим, что в

ܣܦܵ

выполняется теорема Пифагора:

ܵܦ
2
=
ܵܣ
2
+
ܣܦ
2


57
2
=

21
2
+
6
2

57
=
21
+
36

57
=
57

�=

ܣܦܵ


прямоугольный и

ܵܣܦ
=
90°

по теореме, обратной теореме
Пифагора

__________________________________________________________

Признак перпендикулярности прямой и
плоскости


Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим
в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости

__________________________________________________________

ܵܣ

ܣܤ
ܵܣ

ܣܦ
(
т
Ǥ
к
Ǥ

ܣܤܵ

и


ܣܦܵ

прямоугольные
)

ܣܤ

ܣܦ
=
ܣ

�=
ܵܣ

(
ܣܤܥ
)

�=
ܵܣ


высота пирамиды




б)


Построим прямую
ܱ�

такую, что
ܱ�

ܵܥ


�ܱܦ


искомый

ܱ


середина

ܣܥ

�=

ܱ�


средняя линия

ܣܵܥ

�=

ܱ�
=
1
2
ܵܥ


ܣܥ
=

ܣܤ
2
+
ܤܥ
2
=

8
2
+
6
2
=
10

(по теореме Пифагора)

ܵܥ
=

ܵܣ
2
+
ܣܥ
2
=


21
2
+
10
2
=
11

(по теореме Пифагора)

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


8

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



�=

ܱ�
=
1
2
ܵܥ
=
1
2

11
=
11
2
=
5
ǡ
5

ܦܱ
=
1
2
ܣܥ
=
1
2

10
=
5

ܣ�
=
1
2
ܵܣ
=
1
2


21
=

21
2

ܦ�
=

ܣ�
2
+
ܣܦ
2
=

(

21
2
)
2
+
6
2
=

41
ǡ
25

(по теореме Пифагора)

__________________________________________________________

Теорема Косинусов


ܽ
2
=
ܾ
2
+
ܿ
2

2
ܾܿ

cos
ߙ

или

cos
ߙ
=
ܾ
2
+
ܿ
2

ܽ
2
2
ܾܿ

__________________________________________________________

cos

�ܱܦ
=
ܱ�
2
+
ܦܱ
2

ܦ�
2
2

ܱ�

ܦܱ


cos

�ܱܦ
=
30
ǡ
25
+
25

41
ǡ
25
2

5
ǡ
5

5
=
14
55



�ܱܦ
=
arccos
14
55


Ответ: б)
arccos
14
55


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен
верный ответ в обоих пунктах

2

Верно доказан пункт
а
.

ИЛИ

1

Верно решён пункт
б

при отсутствии обоснований в
пункте
а

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



Решите неравенство

15


3

+
1

5

+
1
+
15

ݔ
2
+
2
ݔ

0
Ǥ

.

Решение:



15


3

+
1

5

+
1
+
15
=
0

15


3

3


5

5

+
15
=
0

(
15


3

3

)
+
(

5

5

+
15
)
=
0

3


(
5


3
)

5

(
5


3
)
=
0

(
5


3
)
(
3


5
)
=
0


5


3
=
0

5

=
3

5

=
5
log
5
3

ݔ
=
log
5
3

3


5
=
0

3

=
5

3

=
3
log
3
5

ݔ
=
log
3
5



ݔ
2
+
2
ݔ

0

ݔ
(
2

ݔ
)

0

ݔ

0

ݔ

2




Ответ:
(
0
Ǣ
log
5
3
]

[
log
3
5
Ǣ
2
)


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

15

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


9

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Решение содержит вычислительную ошибку, возможно,
приведшую к неверному ответу, но при этом имеется
верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не
соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



В треугольнике
ܣܤܥ

точки
ܣ
1
,
ܤ
1

и
ܥ
1


середины сторон
ܤܥ
,
ܣܥ

и
ܣܤ

соответственно,
ܣ



высота,

ܤܣܥ
=
60°
,

ܤܥܣ
=
45°
.


а)
Докажите, что точки
ܣ
1
,
ܤ
1
,
ܥ
1

и


лежат на одной окружности.

б) Найдите
ܣ
1

, если
ܤܥ
=
2

3
.

.

Решение:

а)


Соединим точками четырёхугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1


__________________________________________________________

Свойство четырёхугольника, вписанного в
окружность



ܣ
+

ܥ
=
180°


ܤ
+

ܦ
=
180°

__________________________________________________________

Наша задача


доказать, что сумма противоположных углов в данном
четырёхугольнике равна 180
°


Найдём углы внутри треугольника и подпишем их
на рисунке:


ܤܥܣ
=
45°


ܣܤܥ
=
180


ܤܥܣ


ܤܣܥ
=
180

45

60
=
75°


ܤܣ�
=
180


ܣ�ܤ


ܣܤ�
=
180

90

75
=
15
°


ܥܣ�
=

ܤܣܥ


ܤܣ�
=
60

15
=
45
°

__________________________________________________________

Свойство медианы


В прямоугольном
треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна
половине гипотенузы

__________________________________________________________

Рассмотрим

ܣܤ�


прямоугольный

ܥ
1



медиана

�=

ܥ
1

=
ܣ
ܥ
1

(по свойству медианы в прямоугольном треугольнике)

=



ܣ
ܥ
1



равнобедренный

�=


ܣ�
ܥ
1
=

ܤܣ�
=
15°

__________________________________________________________

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник является параллелограммом:

1) Если две стороны равны и параллельны

2) Если противоположные углы попарно равны

3)

Если противоположные стороны попарно равны

4) Если все противоположные стороны попарно параллельны

5) Если диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам

6) Если сумма соседних углов равна 180 градусов

7) Если сумма квадратов диагоналей равна

сумме квадратов всех сторон

8) Если сумма расстояний между серединами противоположных сторон
выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру

__________________________________________________________

Рассмотрим
ܣ
1
ܤ
ܥ
1
ܤ
1

16

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


10

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



ܣ
1
ܤ
1

ܤ
ܥ
1
ܣ
1
ܤ
1
=
ܤ
ܥ
1

(т.
к.
ܣ
1
ܤ
1


средняя линия)

=


ܣ
1
ܤ
ܥ
1
ܤ
1


параллелограмм

=



ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
=

ܣܤܥ
=
75°


ܣ
1

ܥ
1
=

ܣ�
ܣ
1
+

ܣ�
ܥ
1
=
90
+
15
=
105°



ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
+

ܣ
1

ܥ
1
=
75
+
105
=
180°

�=

Четырёхугольник
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1


можно вписать в окружность

=


Точки
ܣ
1
,
ܤ
1
,
ܥ
1

и


лежат на одной окружности




б)

__________________________________________________________

Свойство трапеции


Если трапеция вписана в окружность, то она
-

равнобедренная

__________________________________________________________

ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1



равнобедренная трапеция

(трапеция из
-
за параллельности двух
сторон, а равнобедренная из
-
за того, что вписана в окружность)

__________________________________________________________

Теорема синусов


ܽ
sin
ߙ
=
2
ܴ

или

ܽ
sin
ߙ
=
ܾ
sin
ߚ
=
ܿ
sin
ߛ
=
2
ܴ

__________________________________________________________

ܤܥ
sin
ܣ
=
ܣܤ
sin
ܥ


2

3
sin
60°
=
ܣܤ
sin
45°


ܣܤ
=
2

3

sin
45°
sin
60°
=
2

3


2
2

3
2
=
2

2

�=

ܣ
1
ܤ
1
=
ܣܤ
2
=
2

2
2
=

2

ܤ
1
ܥ
1
=
ܤܥ
2
=
2

3
2
=

3


Рассмотрим
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1

:


Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


11

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Пусть


ܣ
1

=
ݔ

ܣ
1
ܲ


высота трапеции

__________________________________________________________

Свойство равнобедренной трапеции


ܣ�
=
ܣܦ

ܤܥ
2

�ܦ
=
ܣܦ
+
ܤܥ
2

__________________________________________________________

Тогда


ܤ
1
ܲ
=
ܤ
1
ܥ
1

ܣ
1

2
=

3

ݔ
2



ܤ
1
ܣ
1
ܲ
=
180


ܤ
1
ܲ
ܣ
1


ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
=
180

90

75
=
15
°

__________________________________________________________

Формулы сложения и вычитания аргументов

sin
(
ߙ
+
ߚ
)
=
sin
ߙ
cos
ߚ
+
cos
ߙ
sin
ߚ

sin
(
ߙ

ߚ
)
=
sin
ߙ
cos
ߚ

cos
ߙ
sin
ߚ

cos
(
ߙ
+
ߚ
)
=
cos
ߙ
cos
ߚ

sin
ߙ
sin
ߚ

cos
(
ߙ

ߚ
)
=
cos
ߙ
cos
ߚ
+
sin
ߙ
sin
ߚ

tg
(
ߙ
+
ߚ
)
=
tg
ߙ
+
tg
ߚ
1

tg
ߙ
tg
ߚ

tg
(
ߙ

ߚ
)
=
tg
ߙ

tg
ߚ
1
+
tg
ߙ
tg
ߚ

__________________________________________________________

sin

ܤ
1
ܣ
1
ܲ
=
ܤ
1
ܲ
ܣ
1
ܤ
1


sin
15
°
=

3

ݔ
2

2


sin
(
45

30
)
°
=

3

ݔ
2

2


sin
45°
cos
30°

cos
45°
sin
30°
=

3

ݔ
2

2



2
2


3
2


2
2

1
2
=

3

ݔ
2

2



6
4


2
4
=

3

ݔ
2

2



6


2
4
=

3

ݔ
2

2












2

2



6


2

2
=

3

ݔ



6


2
=

6


2

ݔ




2
=


2

ݔ


ݔ
=
1


ܣ
1

=
1


Ответ: б) 1


Содержание критерия

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта
а

и
обоснованно получен верный ответ в пункте
б

3

Получен обоснованный ответ в пункте
б

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при
обоснованном решении пункта
б

получен неверный ответ
из
-
за арифметической ошибки

2

Имеется верное доказательство утверждения пункта
а
,

ИЛИ

1

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


12

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



При обоснованном решении пункта
б

получен неверный
ответ и
з
-
за арифметической ошибки,

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте
б

с
использованием утверждения пункта
а
, при этом пункт а не
выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

3



В июле
планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:




каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;



с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить
часть долга;



в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.


Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита,
если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

.

Решение:


Пусть



срок кредита


Составим таблицу:

Год

Долг на
начало года

Основной
платёж

Дополнительный
платёж

1

28

28


25
100

28
=
7








28


28


25
100

28

=
7



Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому
что платежи равномерно уменьшаются в течение


лет)

=


Наибольший годовой платёж
=
9

млн


28

+
7
=
9


28

=
2



=
14


�=

В таблице все значения становятся известными:

Год

Долг на
начало года

Основной
платёж

Дополнительный
платёж

1

28

28
14
=
2

7






14

2

2

7
14
=
0
ǡ
5


Общая сумма выплат (ОСВ)


это все основные платежи и все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых


членов арифметической прогрессии
)

__________________________________________________________

Сумма первых
n

членов арифметической прогрессии

ܵ

=
ܽ
1
+
ܽ

2



__________________________________________________________

ОСВ
=
14

2
+
7
+
0
ǡ
5
2

14


ОСВ
=
28
+
7
ǡ
5

7
=
80
ǡ
5


Ответ: 80,5 млн


17

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


13

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Верно построена математическая модель, решение сведено
к исследованию этой модели, получен неверный ответ из
-
за
вычислительной ошибки

ИЛИ

Получен верный ответ, но решение
недостаточно
обоснованно

2

Верно построена математическая модель и решение
сведено к исследованию этой модели, при этом решение
может быть не завершено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

3


Найдите все значения
ܽ
, при каждом из которых уравнение

ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2
=
|
ݔ

2
+
ܽ
|
+
|
ݔ

ܽ
+
2
|

имеет единственный корень.


.
Решение:


ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2

|
ݔ

2
+
ܽ
|

|
ݔ

ܽ
+
2
|
=
0


Рассмотрим функцию


(
ݔ
)
=
ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2

|
ݔ

2
+
ܽ
|

|
ݔ

ܽ
+
2
|


Заметим, что

(
ݔ
)


чётная, т.к.

(

ݔ
)
=

(
ݔ
)


(

ݔ
)
=
(

ݔ
)
2
+
(
2

ܽ
)
2

|

ݔ

2
+
ܽ
|

|

ݔ

ܽ
+
2
|


(

ݔ
)
=
ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2

|
ݔ
+
2

ܽ
|

|
ݔ
+
ܽ

2
|


�=

ݔ
=
0

(для выполнения единственности решения)

Подставим в уравнение
ݔ
=
0
:


0
2
+
(
2

ܽ
)
2

|
0

2
+
ܽ
|

|
0

ܽ
+
2
|
=
0


(
2

ܽ
)
2

|
ܽ

2
|

|

ܽ
+
2
|
=
0


(
2

ܽ
)
2

|
ܽ

2
|

|
ܽ

2
|
=
0


(
2

ܽ
)
2

2
|
ܽ

2
|
=
0


|
ܽ

2
|
2

2
|
ܽ

2
|
=
0


|
ܽ

2
|

(
|
ܽ

2
|

2
)
=
0


ܽ
=
2

ܽ
=
4

ܽ
=
0


Проверим, получается ли единственное решение при подстановке данных
значений
ܽ


Если
ܽ
=
2

ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2
=
|
ݔ

2
+
ܽ
|
+
|
ݔ

ܽ
+
2
|

ݔ
2
+
(
2

2
)
2
=
|
ݔ

2
+
2
|
+
|
ݔ

2
+
2
|

ݔ
2
=
|
ݔ
|
+
|
ݔ
|

ݔ
2
=
2
|
ݔ
|

ݔ
2

2
|
ݔ
|
=
0

|
ݔ
|
2

2
|
ݔ
|
=
0

|
ݔ
|

(
|
ݔ
|

2
)
=
0

ݔ
=
0

ݔ
=
2

ݔ
=

2

�=

ܽ
=
2

не подходит


Если
ܽ
=
4

ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2
=
|
ݔ

2
+
ܽ
|
+
|
ݔ

ܽ
+
2
|

ݔ
2
+
(
2

4
)
2
=
|
ݔ

2
+
4
|
+
|
ݔ

4
+
2
|

ݔ
2
+
4
=
|
ݔ
+
2
|
+
|
ݔ

2
|

Найдём при каких
ݔ

модули обращаются в нули:


Если
ݔ
<

2
, то

ݔ
2
+
4
=

ݔ

2

ݔ
+
2

ݔ
2
+
2
ݔ
+
4
=
0

ݔ
2
+
2
ݔ
+
1
+
3
=
0

(
ݔ
+
1
)
2
+
3
=
0

18

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


14

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



Нет корней


Если

2
<
ݔ
<
2
, то

ݔ
2
+
4
=
ݔ
+
2

ݔ
+
2

ݔ
2
=
0

ݔ
=
0

1 корень


Если
ݔ
>
2
, то

ݔ
2
+
4
=
ݔ
+
2
+
ݔ

2

ݔ
2

2
ݔ
+
4
=
0

ݔ
2

2
ݔ
+
1
+
3
=
0

(
ݔ

1
)
2
+
3
=
0

Нет корней

�=

ܽ
=
4

подходит


Если
ܽ
=
0

ݔ
2
+
(
2

ܽ
)
2
=
|
ݔ

2
+
ܽ
|
+
|
ݔ

ܽ
+
2
|

ݔ
2
+
(
2

0
)
2
=
|
ݔ

2
+
0
|
+
|
ݔ

0
+
2
|

ݔ
2
+
4
=
|
ݔ

2
|
+
|
ݔ
+
2
|

Получаем такое же уравнение, как и при
ܽ
=
4

�=

ܽ
=
0

подходит


Ответ:
ܽ
=
0
;
ܽ
=
4


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено множество
значений а, отличающееся от искомого конечным числом
точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные
точки искомого множества
значений а

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого
множества значений а

1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

4


На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее
арифметическое этих чисел равно
-
3, среднее арифметическое всех
положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех
отрицательных из них равно
-
8.


а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди
них?

.

Решение:


а)

На доске может быть написано:

41 или 42 или 43 или 44 или 45 или 46 или 47 чисел


Пусть

ч
1
,
ч
2
, …,
ч



написанные на доске числа

п
1
,
п
2
, …,
п



написанные на доске положительные числа

о
1
,
о
2
, …,
о



написанные на доске отрицательные числа


Допустим на доске написано 41 число:

20 положительных

20 отрицательных

1 ноль


Тогда

ч
1
+
ч
2
+

+
ч
41
41
=

3

=


ч
1
+
ч
2
+

+
ч
41
=

123


п
1
+
п
2
+

+
п
20
20
=
4

=


п
1
+
п
2
+

+
п
20
=
80


о
1
+
о
2
+

+
о
20
20
=

8

=


о
1
+
о
2
+

+
о
20
=

160

19

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


15

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311




Сумма всех положительных + сумма всех отрицательных должны
равняться сумме всех чисел


Очевидно, что, добавляя одно положительное сумма увеличивается на 4, а
добавляя одно отрицательное сумма уменьшается на 8, т.е. шаг

равен 4

=


сумма чисел также должна быть кратна 4

=


количество чисел на доске также должно быть кратно 4

=


на доске 44 числа


б)

На доске написано 44 числа


ч
1
+
ч
2
+

+
ч
44
44
=

3

=


ч
1
+
ч
2
+

+
ч
44
=

132


Допустим среди 44 чисел:

20 положительных

20 отрицательных

4 нуля


п
1
+
п
2
+

+
п
20
20
=
4

=


п
1
+
п
2
+

+
п
20
=
80


о
1
+
о
2
+

+
о
20
20
=

8

=


о
1
+
о
2
+

+
о
20
=

160

=


Текущая сумма
-
80 (нужно изменить сумму на
-
52)


Допустим среди 44 чисел:

15 положительных

25 отрицательных

4 нуля


п
1
+
п
2
+

+
п
15
15
=
4

=


п
1
+
п
2
+

+
п
15
=
60


о
1
+
о
2
+

+
о
25
25
=

8

=


о
1
+
о
2
+

+
о
25
=

200

=


Текущая сумма
-
140 (нужно изменить сумму на +8)


Допустим среди 44 чисел:

17 положительных

25 отрицательных

2 нуля


п
1
+
п
2
+

+
п
17
17
=
4

=


п
1
+
п
2
+

+
п
17
=
68


о
1
+
о
2
+

+
о
25
25
=

8

=


о
1
+
о
2
+

+
о
25
=

200

=


Текущая сумма
-
132 (подходит)


Запишем все воз
можные комбинации:

1

17 положительных

25 отрицательных

2 нуля

2

15 положительных

24 отрицательных

5 нулей

3

13 положительных

23 отрицательных

Единый государственный экзамен, 2018

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный вариант №
34

от
11
.0
3
.201
8


16

/
16




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov


Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2018
kim
34

Разрешается свободное копирование в некоммерческих образовательных целях



ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
180311



8 нулей

4

11 положительных

22 отрицательных

11 нулей

5

9 положительных

21 отрицательных

14 нулей

6

7 положительных

20 отрицательных

17 нулей

7

5 положительных

19 отрицательных

20 нулей

8

3 положительных

18 отрицательных

23 нулей

9

1 положительных

17 отрицательных

26 нулей


В любом варианте больше отрицательных

Наибольшее количество положительных в варианте №1


Ответ:
а) 44, б) отрицательных, в) 17


Содержание критерия

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1
балл) результаты

4

Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий

на 1
балл) результатов

2

Верно получен один из следующих результатов:

-

обоснованное решение п. а;

-

обоснованное решение п. б;

-

искомая оценка в п. в;

1

-

пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей
оценки

Решение не соответствует ни одному из к
ритериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

4




Приложенные файлы

  • pdf 9595699
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий