! 008 Нелинейные статические методы (окончание)

Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Нелинейный статический метод анализа сейс
мостойкости зданий и сооружений



Введение

Обеспечение надежности и безопасности сейсмостойкого строительства, несомненно,
представляет собой сложнейшую инженерную задачу. Нормами проектирования,
разработанными в
последнее время, допускается возможность работы материала
конструкций за пределами упругости. Предполагается нелинейное поведение конструкций, и
даже допускаются разрушения отдельных несущих элементов, которые должны быть
относительно легкодоступны для обс
ледования, ремонта и разрушение которых не наносит
большого ущерба конструкции в целом

[8]
.

Перед проектировщиками стоит задача рассчитать сооружения таким образом, чтобы
при сильных землетрясениях разрушения не превышали определенного уровня, т.е. были б
ы
контролируемыми и приемлемыми

[4]
.

Расчет конструкций с учетом нелинейного поведения при разрушении отдельных
элементов сооружения требует использования более сложных математических моделей и
теорий

[1
–

7, 15
–

18, 20
-

25]
.

В настоящее время в российс
ких нормах по сейсм
остойкому строительству

до сих пор
используется линейно
-
спектральный метод

[
8
]
.
Этот метод достаточно прост и может
достаточно точно оценить реакцию системы, работающей в упругой стадии, на сейсмическое
воздействие.
Но по мере перехода
системы в неупругую стадию работы, точность оценки
снижается. С
лабая обоснованность коэффициента
К
1

может сильно занизить реакцию
системы, допускающей пластические деформации

[
1, 4 и др.
]
.

В связи с этим, появляется необходимость в использовании методов, к
оторые
учитывают нелинейную работу материалов и конструкций в целом. Одним из таких методов
является нелинейный динамический анализ

[
1
–

7
]
. Но из
-
за своей трудоемкости, он не
может быть закреплен в нормах, как основной для зданий и сооружений с низкой сте
пенью
ответственности.

За рубежом в практике проектирования, наряду со спектральным методом, применяется
нелинейный статический метод, который в свою очередь основан на энергетических
критериях

[2, 12
–

15, 17
–

19, 21
-

23]
. Этот метод получил название Nonliner
Pushover

analys
i
s
, а принятый в нём подход к проектированию можно рассматривать как
проектирование сейсмостойких конструкций с заданными параметрами сейсмостойкости.
Вектор поперечной силы
F
, используемый в этом ме
тоде определяется по формуле:

,







(1)

где
p


параметр, контролирующий величину поперечной силы
;

W


матрица масс
;

Ф

–

матрица форм собственных колебаний.

Существенным допущением является то, что рассматривается система
дифференциальных уравнений, в которой учитываются только горизонтальные степени
свободы:

,





(
2
)

где

U

и
R


векторы перемещений и внутренних сил, соответственно;
I


единичный вектор;
a
g


ускорение грунта основания, как функция времени.

Отметим, что диссипативные силы в выражении 2 отсутствуют. Они уже включены в
расчетный спектр ускорений. Считается, что форма колебания
Ф

остается постоянной, то
есть, что она не меняется в процессе коле
бания сооружения при движении основания. Это
основное и самое важное предположение в рамках процедуры нелинейного статического
анализа.

Наиболее известный метод

нелинейного статического ан
ализа
-

метод спектра несущей
способности 
Capacity

Spectrum

,
CSM
).
Этот метод впервые был предложен
Фрименом

[
18
, 23
]
, а затем утвержден в
ATC
-
40

[
12
]
.
Сейчас в
а
мериканских нормах
используется модифицированный метод спектра несущей способности 
13
].

Хотя этот метод широко используется за рубежом, в русскоязычной
литературе
он

встречается довольно редко 
2, 3, 4
. А если и встречается, то описан недостаточно подробно,
что затрудняет возможность использования данного метода в инженерной практике.

Целью
настоящей работы

является
:

-

подробно описать методологию нелинейного статического анализа с учетом
возможности использования в
реалиях российских норм;

-

рассмотреть применение метода на примере простой системы;

-

оценить полученные результаты;

-

оценить возможность применения метод
а в инженерной практике.


Методика
нелинейного статического расчета

Методика
расчета

состоит из этапов
.

1.

Создание расчетно
й

модели.
Расчет необходимо производить с учетом
геометрической и физической нелинейностей. Диаграммы деформирования
конструктивных эл
ементов следует принимать в соответствии с указаниями 
11
 для
железобетонных конструкций и приложению В 
9
 для стальных конструкций.

2.

Приложение статических вертикальных нагрузок согласно
п. 5.1 
8
]

и п. 6.2

6.3
[
10
]
.

3.

Приложение боковой нагрузки согласно одному из
вариантов распределения по
высоте сооружения:

-

равномерное распределение:

,






(
3
)

где


масса
i
-
го этажа;

-

распределение
по
j
-
ой

форме колебаний
:


,






(
4
)

где


перемещение
i
-
го этажа по
j
-
ой форме;

-

распределение по обратному треугольнику:

,





(
5
)

где


высота
i
-
го этажа,


поперечная сила в основании, полученная линейно
-
спектральным методом
;

-

распределение согласно распределению сейсмических сил по

п. 5.5
-
5.10

[
8
]
.

Коэффициент


принима
е
тся
равным
1.

4.

Постепенно увеличива
я

боковую нагрузку

до достижения верхом сооружения
предельных перемещений или до полного обрушения конструкции

что становится
возможным при учете физической нелинейности
, получаем зависимость
поперечной силы в основании от перемещения верха сооружения

-

кривую несущей
способности
. При этом необходимо учитывать появление текучести в элементах от
комбинации вертикальной и боковой нагрузки 
рис. 1
.


Рисунок 1. Построение кривой несущей способности сооружения

5.

Преобразование кривой несущей способности в спектр несущей способности с
помощью следующих
соотношений, в зависимости от направления сейсмического
воздействия 
12
, 13
]

рис. 2
.
:

,






(
6
)

,





(
7
)

,



(
8
)

,




(
9
)

г
де
V


поперечная сила в основании,
W


масса всего сооружения,
d


перемещение
верха сооружения,


коэффициент модальной массы
j
-
ой формы,


коэффициент распределения
j
-
ой формы.


Рисунок
2
.
Преобразование
кривой несущей способности в спектр несущей
способности

6.

Р
асчетный спектр отклика
необходимо перевести
в формат
Спектр ускорений
-

Спектр перемещений

или другими словами
Спектр Реакци
й

в формате
Ускорения
-
Перемещения

(
С
Р
УП
. В зарубежной литературе
Acceleration
-
Displacement
Response

Spectrum,
ADRS

рис. 3
:

,






(
10
)

Спектр ускорений

согласно

п. 5.5

5.6

[
8
]

получаем следующим образом:

,






(
11
)


в данном случае принимаем равным 1.


Рисунок 3. Преобразование

расчетного спектра в формат СРУП

7.

Полученны
е

спектр
ы наносятся совместно

в координатах Спектр ускорений

Спектр перемещений

рис. 4.


Рисунок 4.
Совмещение полученных спектров

8.

Выбираем
предполагаемую

характеристическую точку максимальное ускорение

и максимальное перемещение
. Выбор точки может быть основан на
принципе эквивалентных
перемещений, как показано на рисунке

5
, либо на любом
другом предположении.


Рисунок
5
.
Выбор предполагаемой характеристической точки

9.

Производим билинейную аппроксимацию спектра несущей способности исходя из
условия равенства площадей

рис
6
. Тем самым получаем перемещение
точки текучести

и ускорение точки текучести
.


Рисунок
6
.
Билинейная аппроксимация спектра несущей способности

10.

Исходя из полученной билинейной аппроксимации получаем значения
коэффициента пост
-
упругой жесткости

и коэффициента пластичности

по
следующим формулам:

,





(
1
2
)

.





(
1
3
)

11.

Используя коэффициенты пост
-
упругой жесткости

и пластичности
,

определяем
эффективное затухание

и эффективный период
:

Для

,





(
1
4
)

.





(
1
5
)

Для

,





(
1
6
)

.





(
1
7
)

Для

,




(
1
8
)

.




(
1
9
)

Коэффициенты

для конструкций, которые работают по билинейному гистерезису,

могут быть определены из таблиц

табл. 1
,
2)

в зависимости от коэффициента пост
-
упругой
жесткости
.

При определении
промежуточных значени
й


допускается использовать

линейн
ую

интерполяцией.



Таблица 1

Коэффициенты для определения эффективного затухания


A

B

C

D

E

F

0

3.2
0

-
0.66

11.00

0.12

19.00

0.73

2

3.3
0

-
0.64

9.40

1.10

19.00

0.42

5

4.2
0

-
0.83

10.00

1.60

22.00

0.40

10

5.1
0

-
1.10

12.00

1.60

24.00

0.36

20

4.6
0

-
0.99

12.00

1.10

25.00

0.37

Таблица 2

Коэффициенты для определения эффективного периода


G

H

I

J

K

L

0

0.11
0

-
0.
017

0.270

0.
090

0.570

0.
000

2

0.10
0

-
0.
014

0.170

0.120

0.670

0.
020

5

0.11
0

-
0.
018

0.090

0.140

0.770

0.
050

10

0.13
0

-
0
.
022

0.270

0.100

0.870

0.
100

20

0.10
0

-
0.
015

0.170

0.094

0.980

0.
200

В дальнейшем для нахождения решения может быть использовано несколько
алгоритмов

[
13
]
.

Алгоритм А.

12.А

Для полученного эффективного затухания

строим новый спектр реакции


с помощью
следующего соотношения:

,










(
20
)

где

.










(
21
)

13.А

Величина максимального перемещения

системы определяется точкой
пересечения эффективного периода

и СРУП. Величина максимального
ускорения

находится из точки на спектре несущей способности,
соответствующей
.

14.А

Если полученная характеристическая точка

совпадает с предполагаемой
характеристической точкой

или находится в достаточ
ной близости
порядка 5%, то это и есть искомые величины максимального ускорения и
перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, начиная с
шага 8
, выбрав новую точку

рис.
7
)
.


Рисунок 7. Нахождение
характеристической точки по алгоритму А

Алгоритм Б.

12.Б

Для полученного эффективного затухания

строим новый спектр реакции

(
18
)

(
19
)
.

13.Б

Умножая
только
ординаты нового спектра на коэффициент
,

получаем
модифицированный спектр отклика в формате Спектр ускорений

-

Спектр
перемещений


или
Модифицированный Спектр Реакци
й

Ускорения

–

Перемещения

(
МС
Р
УП
. В зарубежной литературе
Modified Acceleration
-
Displa
cement Response Spectrum (MADRS)
. Коэффиц
иент преобразования

находится, используя
начальный
,
эффективный

и секущий

периоды
системы:

,




(
2
2
)

.




(
2
3
)

14.Б

Величины максимального ускорения

и перемещения

системы
определяются точкой пересечения спектра несущей способности и
МСРУП
.

15.Б

Если полученная характеристическая точка

совпадает с предполагаемой
характеристической точкой

или находится в достаточной близости
порядка 5%, то это и есть искомые величины максимального ускорения и
перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, нач
иная с
шага 8
, выбрав новую точку

рис.
8
)
.


Рисунок 8. Нахождение характеристической точки по алгоритму Б

Алгоритм В.

12.В

Для полученного эффективного затухания

строим новый спектр реакции

(18)

(19)
.

13.В

Умножая ординаты нового спектра на коэффициент
(
20
)

(
21
)
, получаем
модифицированный спектр отклик
а в формате
МСРУП

(
MADRS).

14.В

Возможная характеристическая точка определяется пересечением прямой
секущего периода


и МС
РУП
.

15.В

Выбирая различные точки

, и повторяя шаги, начиная с
шага
8,
получаем серию возможных характеристических точек.

16.В

Искомая характеристическая точка

точка

пересечения кривой, полученной в
предыдущем шаге, и спектра несущей способности

рис.
9
)
.


Рисунок 9. Нахождение характеристической точки по алгоритму В

17.

Выполняя обратный переход к кривой несущей способности

,
,
(4)

–

(
7
)
,

получаем перемещение рассматриваемой точки и поперечную силу в основании
системы.

Далее
кратко
рассмотрим применение данной методики на примере стальной
одноэтажной плоской рамы типового производственного здания рис.
10
. Перекр
ытие
принято
абсолютно жестким.


Рисунок 10. Расчетная схема

Расчет прои
зводился в программном комплексе ЛИРА

10.4 и

системе компьютерной
математики

Matlab
.

Приведем решение задачи в виде алгоритма.

1.

Рассчитываем раму на сейсмическое воздействие по
[
8
]

в
ПК ЛИРА

10.4. Получаем
сейсмические силы по первой форме.

2.

Прикладываем
полученные силы в качестве нагрузок и производим расчет в
нелинейной
статической
постановке. Диаграмма деформирования приведена на рис.
11
. В результате получаем кривую несущей способности.


Рисунок 11. Диаграмма деформирования стали

3.

В
ыполняя
шаги

5

и
11 вышеописанной методики
,

получаем
эффективное затухание

и эффективный период

рис.
12
. Дальнейший расчет осуществля
ется

по
алгоритму

А.


Рисунок 12. Применение методики. Шаги
5

11

4.

Результаты выполнения

шагов

12.А

и
14.А приведены на рис.

13.

Так как точки

и

не находятся в достаточной близости, повторяем все итерации,
начиная с
шага

8. Новая точка

выбиралась посередине между точками

и

.


Рисунок 1
3
. Применение методики. Шаги
12.А

14.А

5.

Выполнив 9 итераций, получаем, что точки со
впали с точностью 0.1% рис.

14
).


Рисунок 14. Применение методики.
Окончательный результат

6.

Определив перемещение рассматриваемой точки, переходим к соответствующему
шагу нелинейного расчета в
ПК ЛИРА

10.4. Таким образом, получаем напряженно
-
деформированное состояние системы.

7.

Так же
,

с помощью данной методики можно определить коэффициент
,
соответствующий данной расчетной схеме сооружения. Из рисунка 15 видно, что
полученный коэффициент

существенно отличается от коэффициента

[
8
].


Рисунок 15. Расчетные спектры реакции: исходный, с полученным коэффициентом

и с коэффициентом

[
8
]

Рассмотрим решение вышеописанной задачи с использо
ванием модуля Pushover
nlsis, реализованного

в ПК ЛИРА 10.4 Рис. 16:


Рисунок 1
6
.
Сравнение ручного расчета с модулем
Pushover

analysis

в

ПК ЛИРА 10.4

Заключение

1.

Методика нелинейного статического
анализа
,

в

зависимости от постановки
,

позволяет
,

либо
отказаться от коэффициента

совсем как показано выше
,

либо
вычисл
я
ть коэффициент

для конкретного здания или сооружения

не прибегая к
таблице 4
[8]
.
Такой подход позвол
яе
т

с большей точностью оценивать реакцию
систем определенной конструктивной схемы, доп
ускающих повреждения и
пластические деформации, на сейсмическое воздействие.


2.

Согласно
п.

5.2.б

[8]

при расчете на сейсмические воздействия, соответствующие
уровню МРЗ, необходимо учитывать возможность развития неупругих деформаций.
При решении
задачи в
такой постановке

применение нелинейного статического
метода не запрещается

и может быть использован широким кругом специалистов
.

3.

Рассмотренный выше ручной метод определения кривой СРУП и
характеристической точки может быть применен с использованием любо
го
отечественного или зарубежно
го

программного комплекса, позволяющего
производить
статические
расчеты с учетом физической и геометрической
нелинейностей. Это

позволяет применять
рассмотренный метод
в инженерной
практике.

4.

Полученная сходимость результатов
расчета на
рассмотренном

примере позволяет
судить о достоверности реализации автоматизированного расчета
нелинейным
статическим методом

(
Pushover

analysis
)

в ПК ЛИРА 10.4. Более
сложные
конструктивные схемы зданий и сооружений будут рассмотрены в следующих

работах.


Список литературы:


1.

Джинчвелашвили Г. А., Мкртычев О.В. Оценка нелинейной работы зданий и
сооружений при аварийных воздействиях // Проблемы безопасности российского
общества. 2012. №3.
-

с
. 17
-
31.

2.

Джинчвелашвили Г. А.

Нелинейные динамические методы расчета зданий и
сооружений с заданной обеспеченностью сейсмостойкости
//автореферат дисс.
н
а
соискание ученой степени докт. техн
. наук.
–

М.: МГСУ, 2015.
–

46 с
.

3.

Задоян П.М.

Оценка сейсмостойкости методом спектра несущей спо
собности. //
Известия Ереванского государственного университета архитектуры и
строительства, 2/2009.

4.

Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г. А.

Проблемы учета нелинейностей в теории

сейсмостойкости гипотезы и заблуждения // Москва: МГСУ, 2012. Библиотека
научн
ых разработок и проектов МГСУ.
-

192

с
.

5.

Мкртычев О.В.,

Джинчвелашвили Г.А., Бусалова М.С.

Задача вероятностного
расчета конструкции на нелинейно деформируемом основании со случайными
параметрами // Вестник МГСУ. 2013. № 12.
-

с
. 106
-
112.

6.

Мкртычев О.В.,

Джинчвелашвили Г.А., Дзержинский Р.И.

Философия
многоуровневого проектирования в свете обеспечения сейсмостойкости
сооружений // Геология и геофизика Юга России. 2016. № 1.
-

с
. 71
-
81.

7.

Мкртычев О.В.,

Джинчвелашвили Г.А.
Оценка работы зданий и сооружений за
пределами упругости при сейсмических воздействиях // XXI Russin
-
Slovak
-
Polish
Seinr, “Theoreticl Foundtion of Civil Enineerin”, Mosco
-
Archangelsk 03.07
–

06.07.2012.
-

p
p. 177
–

186.


8.

СП 14.13330.2014. Строите
льство в сейсмических районах. Актуализированная
редакция СНиП
II
-
7
-
81*, М., 2014
;

9.

СП 16.13330.2011. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II
-
23
-
81*, М., 2011;

10.

СП 20.13330.2011. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП
2.
01.07
-
85*, М., 2011
;

11.

СП

63.13330.2012. 
Бетонные

и

железобетонные

конструкции
. Основные
положения. Актуализированная редакция СНиП 52
-
01
-
2003
М
., 2012;

12.

Applied Technology Council

(ATC).

Seisic Evlution nd Retrofit of Concrete
Buildins.

Rep. No.
ATC
-
40
, Volumes 1 and 2,
Redwood

City
, C
А
, 1996
.

13.

Applied Technology Council

(ATC).

Iroveent of nonliner sttic seisic nlsis
rocedures.

Rep. No. ATC
-
55,
Redwood

City
, C
А
, 2005
.

14.

Building Seismic Safety Council. NEHRP Guidelines for the Seismic
Rehabilitation of
Buildings, FEMA
-
273, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, 1997.

15.

Chopra Anil K. Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake
Engineering.
–

Prentice Hall, Inc. 1995, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632.
–

7
94

p.

16.

Clough Ray W., Penzien Joseph. Dynamics of Structures (Third Edition).
-

Computers &
Structures, Inc. 1995 University Ave., Berkeley, CA 94704, USA.
–

752

p.

17.

Datta T. K. Seismic Analysis of Structures, John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd. 2010.
–

p.
464
.

18.

Freeman S.A.
, Prediction of Resonse of Concrete Buildins to Severe Erthquke
Motion, Douls McHenr Interntionl Sosiu on Concrete nd Concrete
Structures, SP
-
55, American Concrete Institute, Detroit, Michigan, 1978. Pp. 589
-
605.

19.

Kanai K. Semi
-
empirical formula for the seismic characteristics of the ground. BERJ, 35
(1957).

20.

Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A., Busalova M.S. Calculation accelerograms
reters for  ”Construction
-
Bsis” odel, nonliner roerties of the soil tken into
acco
unt / Procedia Engineering
–
2014
-

vol.91, pp. 54
-
57.

21.

NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and other
Structures.
Part 1: 1997 Edition. Building Seismic Safety Council (USA),
-

342p.

22.

Paz Mario. Structural Dynamics: Theory a
nd Computation / by Mario Paz, William Leigh.
–

5th ed., 2004.
–

844p.

23.

Themelis S.
Pushover analysis for seismic assessment and design of structures, Heriot
-
Watt University, School of Built Enviroment, 2008;

24.

Verruijt Arnold. SOIL DYNAMICS /Delft University

of Technology 1994, 2008.
–

425p.

25.

Wolf J.P. Dynamic Soil
-
Structure Interaction /1985, Prentice
-
Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N.J. 07632.
–

481 p.