Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Нелинейный статический метод анализа сейс
мостойкости зданий и сооружений
Введение
Обеспечение надежности и безопасности сейсмостойкого строительства, несомненно,
представляет собой сложнейшую инженерную задачу. Нормами проектирования,
разработанными в
последнее время, допускается возможность работы материала
конструкций за пределами упругости. Предполагается нелинейное поведение конструкций, и
даже допускаются разрушения отдельных несущих элементов, которые должны быть
относительно легкодоступны для обс
ледования, ремонта и разрушение которых не наносит
большого ущерба конструкции в целом
[8]
.
Перед проектировщиками стоит задача рассчитать сооружения таким образом, чтобы
при сильных землетрясениях разрушения не превышали определенного уровня, т.е. были б
ы
контролируемыми и приемлемыми
[4]
.
Расчет конструкций с учетом нелинейного поведения при разрушении отдельных
элементов сооружения требует использования более сложных математических моделей и
теорий
[1
–
7, 15
–
18, 20
-
25]
.
В настоящее время в российс
ких нормах по сейсм
остойкому строительству
до сих пор
используется линейно
-
спектральный метод
[
8
]
.
Этот метод достаточно прост и может
достаточно точно оценить реакцию системы, работающей в упругой стадии, на сейсмическое
воздействие.
Но по мере перехода
системы в неупругую стадию работы, точность оценки
снижается. С
лабая обоснованность коэффициента
К
1
может сильно занизить реакцию
системы, допускающей пластические деформации
[
1, 4 и др.
]
.
В связи с этим, появляется необходимость в использовании методов, к
оторые
учитывают нелинейную работу материалов и конструкций в целом. Одним из таких методов
является нелинейный динамический анализ
[
1
–
7
]
. Но из
-
за своей трудоемкости, он не
может быть закреплен в нормах, как основной для зданий и сооружений с низкой сте
пенью
ответственности.
За рубежом в практике проектирования, наряду со спектральным методом, применяется
нелинейный статический метод, который в свою очередь основан на энергетических
критериях
[2, 12
–
15, 17
–
19, 21
-
23]
. Этот метод получил название Nonliner
Pushover
analys
i
s
, а принятый в нём подход к проектированию можно рассматривать как
проектирование сейсмостойких конструкций с заданными параметрами сейсмостойкости.
Вектор поперечной силы
F
, используемый в этом ме
тоде определяется по формуле:
,
(1)
где
p
параметр, контролирующий величину поперечной силы
;
W
матрица масс
;
Ф
–
матрица форм собственных колебаний.
Существенным допущением является то, что рассматривается система
дифференциальных уравнений, в которой учитываются только горизонтальные степени
свободы:
,
(
2
)
где
U
и
R
векторы перемещений и внутренних сил, соответственно;
I
единичный вектор;
a
g
ускорение грунта основания, как функция времени.
Отметим, что диссипативные силы в выражении 2 отсутствуют. Они уже включены в
расчетный спектр ускорений. Считается, что форма колебания
Ф
остается постоянной, то
есть, что она не меняется в процессе коле
бания сооружения при движении основания. Это
основное и самое важное предположение в рамках процедуры нелинейного статического
анализа.
Наиболее известный метод
нелинейного статического ан
ализа
-
метод спектра несущей
способности
Capacity
Spectrum
,
CSM
).
Этот метод впервые был предложен
Фрименом
[
18
, 23
]
, а затем утвержден в
ATC
-
40
[
12
]
.
Сейчас в
а
мериканских нормах
используется модифицированный метод спектра несущей способности
13
].
Хотя этот метод широко используется за рубежом, в русскоязычной
литературе
он
встречается довольно редко
2, 3, 4
. А если и встречается, то описан недостаточно подробно,
что затрудняет возможность использования данного метода в инженерной практике.
Целью
настоящей работы
является
:
-
подробно описать методологию нелинейного статического анализа с учетом
возможности использования в
реалиях российских норм;
-
рассмотреть применение метода на примере простой системы;
-
оценить полученные результаты;
-
оценить возможность применения метод
а в инженерной практике.
Методика
нелинейного статического расчета
Методика
расчета
состоит из этапов
.
1.
Создание расчетно
й
модели.
Расчет необходимо производить с учетом
геометрической и физической нелинейностей. Диаграммы деформирования
конструктивных эл
ементов следует принимать в соответствии с указаниями
11
для
железобетонных конструкций и приложению В
9
для стальных конструкций.
2.
Приложение статических вертикальных нагрузок согласно
п. 5.1
8
]
и п. 6.2
6.3
[
10
]
.
3.
Приложение боковой нагрузки согласно одному из
вариантов распределения по
высоте сооружения:
-
равномерное распределение:
,
(
3
)
где
масса
i
-
го этажа;
-
распределение
по
j
-
ой
форме колебаний
:
,
(
4
)
где
перемещение
i
-
го этажа по
j
-
ой форме;
-
распределение по обратному треугольнику:
,
(
5
)
где
высота
i
-
го этажа,
поперечная сила в основании, полученная линейно
-
спектральным методом
;
-
распределение согласно распределению сейсмических сил по
п. 5.5
-
5.10
[
8
]
.
Коэффициент
принима
е
тся
равным
1.
4.
Постепенно увеличива
я
боковую нагрузку
до достижения верхом сооружения
предельных перемещений или до полного обрушения конструкции
что становится
возможным при учете физической нелинейности
, получаем зависимость
поперечной силы в основании от перемещения верха сооружения
-
кривую несущей
способности
. При этом необходимо учитывать появление текучести в элементах от
комбинации вертикальной и боковой нагрузки
рис. 1
.
Рисунок 1. Построение кривой несущей способности сооружения
5.
Преобразование кривой несущей способности в спектр несущей способности с
помощью следующих
соотношений, в зависимости от направления сейсмического
воздействия
12
, 13
]
рис. 2
.
:
,
(
6
)
,
(
7
)
,
(
8
)
,
(
9
)
г
де
V
поперечная сила в основании,
W
масса всего сооружения,
d
перемещение
верха сооружения,
коэффициент модальной массы
j
-
ой формы,
коэффициент распределения
j
-
ой формы.
Рисунок
2
.
Преобразование
кривой несущей способности в спектр несущей
способности
6.
Р
асчетный спектр отклика
необходимо перевести
в формат
Спектр ускорений
-
Спектр перемещений
или другими словами
Спектр Реакци
й
в формате
Ускорения
-
Перемещения
(
С
Р
УП
. В зарубежной литературе
Acceleration
-
Displacement
Response
Spectrum,
ADRS
рис. 3
:
,
(
10
)
Спектр ускорений
согласно
п. 5.5
5.6
[
8
]
получаем следующим образом:
,
(
11
)
в данном случае принимаем равным 1.
Рисунок 3. Преобразование
расчетного спектра в формат СРУП
7.
Полученны
е
спектр
ы наносятся совместно
в координатах Спектр ускорений
Спектр перемещений
рис. 4.
Рисунок 4.
Совмещение полученных спектров
8.
Выбираем
предполагаемую
характеристическую точку максимальное ускорение
и максимальное перемещение
. Выбор точки может быть основан на
принципе эквивалентных
перемещений, как показано на рисунке
5
, либо на любом
другом предположении.
Рисунок
5
.
Выбор предполагаемой характеристической точки
9.
Производим билинейную аппроксимацию спектра несущей способности исходя из
условия равенства площадей
рис
6
. Тем самым получаем перемещение
точки текучести
и ускорение точки текучести
.
Рисунок
6
.
Билинейная аппроксимация спектра несущей способности
10.
Исходя из полученной билинейной аппроксимации получаем значения
коэффициента пост
-
упругой жесткости
и коэффициента пластичности
по
следующим формулам:
,
(
1
2
)
.
(
1
3
)
11.
Используя коэффициенты пост
-
упругой жесткости
и пластичности
,
определяем
эффективное затухание
и эффективный период
:
Для
,
(
1
4
)
.
(
1
5
)
Для
,
(
1
6
)
.
(
1
7
)
Для
,
(
1
8
)
.
(
1
9
)
Коэффициенты
для конструкций, которые работают по билинейному гистерезису,
могут быть определены из таблиц
табл. 1
,
2)
в зависимости от коэффициента пост
-
упругой
жесткости
.
При определении
промежуточных значени
й
допускается использовать
линейн
ую
интерполяцией.
Таблица 1
Коэффициенты для определения эффективного затухания
A
B
C
D
E
F
0
3.2
0
-
0.66
11.00
0.12
19.00
0.73
2
3.3
0
-
0.64
9.40
1.10
19.00
0.42
5
4.2
0
-
0.83
10.00
1.60
22.00
0.40
10
5.1
0
-
1.10
12.00
1.60
24.00
0.36
20
4.6
0
-
0.99
12.00
1.10
25.00
0.37
Таблица 2
Коэффициенты для определения эффективного периода
G
H
I
J
K
L
0
0.11
0
-
0.
017
0.270
0.
090
0.570
0.
000
2
0.10
0
-
0.
014
0.170
0.120
0.670
0.
020
5
0.11
0
-
0.
018
0.090
0.140
0.770
0.
050
10
0.13
0
-
0
.
022
0.270
0.100
0.870
0.
100
20
0.10
0
-
0.
015
0.170
0.094
0.980
0.
200
В дальнейшем для нахождения решения может быть использовано несколько
алгоритмов
[
13
]
.
Алгоритм А.
12.А
Для полученного эффективного затухания
строим новый спектр реакции
с помощью
следующего соотношения:
,
(
20
)
где
.
(
21
)
13.А
Величина максимального перемещения
системы определяется точкой
пересечения эффективного периода
и СРУП. Величина максимального
ускорения
находится из точки на спектре несущей способности,
соответствующей
.
14.А
Если полученная характеристическая точка
совпадает с предполагаемой
характеристической точкой
или находится в достаточ
ной близости
порядка 5%, то это и есть искомые величины максимального ускорения и
перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, начиная с
шага 8
, выбрав новую точку
рис.
7
)
.
Рисунок 7. Нахождение
характеристической точки по алгоритму А
Алгоритм Б.
12.Б
Для полученного эффективного затухания
строим новый спектр реакции
(
18
)
(
19
)
.
13.Б
Умножая
только
ординаты нового спектра на коэффициент
,
получаем
модифицированный спектр отклика в формате Спектр ускорений
-
Спектр
перемещений
или
Модифицированный Спектр Реакци
й
Ускорения
–
Перемещения
(
МС
Р
УП
. В зарубежной литературе
Modified Acceleration
-
Displa
cement Response Spectrum (MADRS)
. Коэффиц
иент преобразования
находится, используя
начальный
,
эффективный
и секущий
периоды
системы:
,
(
2
2
)
.
(
2
3
)
14.Б
Величины максимального ускорения
и перемещения
системы
определяются точкой пересечения спектра несущей способности и
МСРУП
.
15.Б
Если полученная характеристическая точка
совпадает с предполагаемой
характеристической точкой
или находится в достаточной близости
порядка 5%, то это и есть искомые величины максимального ускорения и
перемещения системы. Если нет, тогда необходимо повторить все шаги, нач
иная с
шага 8
, выбрав новую точку
рис.
8
)
.
Рисунок 8. Нахождение характеристической точки по алгоритму Б
Алгоритм В.
12.В
Для полученного эффективного затухания
строим новый спектр реакции
(18)
(19)
.
13.В
Умножая ординаты нового спектра на коэффициент
(
20
)
(
21
)
, получаем
модифицированный спектр отклик
а в формате
МСРУП
(
MADRS).
14.В
Возможная характеристическая точка определяется пересечением прямой
секущего периода
и МС
РУП
.
15.В
Выбирая различные точки
, и повторяя шаги, начиная с
шага
8,
получаем серию возможных характеристических точек.
16.В
Искомая характеристическая точка
точка
пересечения кривой, полученной в
предыдущем шаге, и спектра несущей способности
рис.
9
)
.
Рисунок 9. Нахождение характеристической точки по алгоритму В
17.
Выполняя обратный переход к кривой несущей способности
,
,
(4)
–
(
7
)
,
получаем перемещение рассматриваемой точки и поперечную силу в основании
системы.
Далее
кратко
рассмотрим применение данной методики на примере стальной
одноэтажной плоской рамы типового производственного здания рис.
10
. Перекр
ытие
принято
абсолютно жестким.
Рисунок 10. Расчетная схема
Расчет прои
зводился в программном комплексе ЛИРА
10.4 и
системе компьютерной
математики
Matlab
.
Приведем решение задачи в виде алгоритма.
1.
Рассчитываем раму на сейсмическое воздействие по
[
8
]
в
ПК ЛИРА
10.4. Получаем
сейсмические силы по первой форме.
2.
Прикладываем
полученные силы в качестве нагрузок и производим расчет в
нелинейной
статической
постановке. Диаграмма деформирования приведена на рис.
11
. В результате получаем кривую несущей способности.
Рисунок 11. Диаграмма деформирования стали
3.
В
ыполняя
шаги
5
и
11 вышеописанной методики
,
получаем
эффективное затухание
и эффективный период
рис.
12
. Дальнейший расчет осуществля
ется
по
алгоритму
А.
Рисунок 12. Применение методики. Шаги
5
11
4.
Результаты выполнения
шагов
12.А
и
14.А приведены на рис.
13.
Так как точки
и
не находятся в достаточной близости, повторяем все итерации,
начиная с
шага
8. Новая точка
выбиралась посередине между точками
и
.
Рисунок 1
3
. Применение методики. Шаги
12.А
14.А
5.
Выполнив 9 итераций, получаем, что точки со
впали с точностью 0.1% рис.
14
).
Рисунок 14. Применение методики.
Окончательный результат
6.
Определив перемещение рассматриваемой точки, переходим к соответствующему
шагу нелинейного расчета в
ПК ЛИРА
10.4. Таким образом, получаем напряженно
-
деформированное состояние системы.
7.
Так же
,
с помощью данной методики можно определить коэффициент
,
соответствующий данной расчетной схеме сооружения. Из рисунка 15 видно, что
полученный коэффициент
существенно отличается от коэффициента
[
8
].
Рисунок 15. Расчетные спектры реакции: исходный, с полученным коэффициентом
и с коэффициентом
[
8
]
Рассмотрим решение вышеописанной задачи с использо
ванием модуля Pushover
nlsis, реализованного
в ПК ЛИРА 10.4 Рис. 16:
Рисунок 1
6
.
Сравнение ручного расчета с модулем
Pushover
analysis
в
ПК ЛИРА 10.4
Заключение
1.
Методика нелинейного статического
анализа
,
в
зависимости от постановки
,
позволяет
,
либо
отказаться от коэффициента
совсем как показано выше
,
либо
вычисл
я
ть коэффициент
для конкретного здания или сооружения
не прибегая к
таблице 4
[8]
.
Такой подход позвол
яе
т
с большей точностью оценивать реакцию
систем определенной конструктивной схемы, доп
ускающих повреждения и
пластические деформации, на сейсмическое воздействие.
2.
Согласно
п.
5.2.б
[8]
при расчете на сейсмические воздействия, соответствующие
уровню МРЗ, необходимо учитывать возможность развития неупругих деформаций.
При решении
задачи в
такой постановке
применение нелинейного статического
метода не запрещается
и может быть использован широким кругом специалистов
.
3.
Рассмотренный выше ручной метод определения кривой СРУП и
характеристической точки может быть применен с использованием любо
го
отечественного или зарубежно
го
программного комплекса, позволяющего
производить
статические
расчеты с учетом физической и геометрической
нелинейностей. Это
позволяет применять
рассмотренный метод
в инженерной
практике.
4.
Полученная сходимость результатов
расчета на
рассмотренном
примере позволяет
судить о достоверности реализации автоматизированного расчета
нелинейным
статическим методом
(
Pushover
analysis
)
в ПК ЛИРА 10.4. Более
сложные
конструктивные схемы зданий и сооружений будут рассмотрены в следующих
работах.
Список литературы:
1.
Джинчвелашвили Г. А., Мкртычев О.В. Оценка нелинейной работы зданий и
сооружений при аварийных воздействиях // Проблемы безопасности российского
общества. 2012. №3.
-
с
. 17
-
31.
2.
Джинчвелашвили Г. А.
Нелинейные динамические методы расчета зданий и
сооружений с заданной обеспеченностью сейсмостойкости
//автореферат дисс.
н
а
соискание ученой степени докт. техн
. наук.
–
М.: МГСУ, 2015.
–
46 с
.
3.
Задоян П.М.
Оценка сейсмостойкости методом спектра несущей спо
собности. //
Известия Ереванского государственного университета архитектуры и
строительства, 2/2009.
4.
Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г. А.
Проблемы учета нелинейностей в теории
сейсмостойкости гипотезы и заблуждения // Москва: МГСУ, 2012. Библиотека
научн
ых разработок и проектов МГСУ.
-
192
с
.
5.
Мкртычев О.В.,
Джинчвелашвили Г.А., Бусалова М.С.
Задача вероятностного
расчета конструкции на нелинейно деформируемом основании со случайными
параметрами // Вестник МГСУ. 2013. № 12.
-
с
. 106
-
112.
6.
Мкртычев О.В.,
Джинчвелашвили Г.А., Дзержинский Р.И.
Философия
многоуровневого проектирования в свете обеспечения сейсмостойкости
сооружений // Геология и геофизика Юга России. 2016. № 1.
-
с
. 71
-
81.
7.
Мкртычев О.В.,
Джинчвелашвили Г.А.
Оценка работы зданий и сооружений за
пределами упругости при сейсмических воздействиях // XXI Russin
-
Slovak
-
Polish
Seinr, “Theoreticl Foundtion of Civil Enineerin”, Mosco
-
Archangelsk 03.07
–
06.07.2012.
-
p
p. 177
–
186.
8.
СП 14.13330.2014. Строите
льство в сейсмических районах. Актуализированная
редакция СНиП
II
-
7
-
81*, М., 2014
;
9.
СП 16.13330.2011. Стальные конструкции. Актуализированная редакция СНиП II
-
23
-
81*, М., 2011;
10.
СП 20.13330.2011. Нагрузки и воздействия. Актуализированная редакция СНиП
2.
01.07
-
85*, М., 2011
;
11.
СП
63.13330.2012.
Бетонные
и
железобетонные
конструкции
. Основные
положения. Актуализированная редакция СНиП 52
-
01
-
2003
М
., 2012;
12.
Applied Technology Council
(ATC).
Seisic Evlution nd Retrofit of Concrete
Buildins.
Rep. No.
ATC
-
40
, Volumes 1 and 2,
Redwood
City
, C
А
, 1996
.
13.
Applied Technology Council
(ATC).
Iroveent of nonliner sttic seisic nlsis
rocedures.
Rep. No. ATC
-
55,
Redwood
City
, C
А
, 2005
.
14.
Building Seismic Safety Council. NEHRP Guidelines for the Seismic
Rehabilitation of
Buildings, FEMA
-
273, Federal Emergency Management Agency, Washington, DC, 1997.
15.
Chopra Anil K. Dynamics of Structures. Theory and Applications to Earthquake
Engineering.
–
Prentice Hall, Inc. 1995, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632.
–
7
94
p.
16.
Clough Ray W., Penzien Joseph. Dynamics of Structures (Third Edition).
-
Computers &
Structures, Inc. 1995 University Ave., Berkeley, CA 94704, USA.
–
752
p.
17.
Datta T. K. Seismic Analysis of Structures, John Wiley & Sons (Asia) Pte Ltd. 2010.
–
p.
464
.
18.
Freeman S.A.
, Prediction of Resonse of Concrete Buildins to Severe Erthquke
Motion, Douls McHenr Interntionl Sosiu on Concrete nd Concrete
Structures, SP
-
55, American Concrete Institute, Detroit, Michigan, 1978. Pp. 589
-
605.
19.
Kanai K. Semi
-
empirical formula for the seismic characteristics of the ground. BERJ, 35
(1957).
20.
Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A., Busalova M.S. Calculation accelerograms
reters for ”Construction
-
Bsis” odel, nonliner roerties of the soil tken into
acco
unt / Procedia Engineering
–
2014
-
vol.91, pp. 54
-
57.
21.
NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and other
Structures.
Part 1: 1997 Edition. Building Seismic Safety Council (USA),
-
342p.
22.
Paz Mario. Structural Dynamics: Theory a
nd Computation / by Mario Paz, William Leigh.
–
5th ed., 2004.
–
844p.
23.
Themelis S.
Pushover analysis for seismic assessment and design of structures, Heriot
-
Watt University, School of Built Enviroment, 2008;
24.
Verruijt Arnold. SOIL DYNAMICS /Delft University
of Technology 1994, 2008.
–
425p.
25.
Wolf J.P. Dynamic Soil
-
Structure Interaction /1985, Prentice
-
Hall, Inc., Englewood
Cliffs, N.J. 07632.
–
481 p.