P1_9_18


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования и науки Российской Федерации

Московский физико
-
технический институт

(государственный университет)

Заочная физико
-
техническая школа











ФИЗИКА


Векторы в физике

(вводное задание)


Задание №1 для 9
-
х классов


(201
8



201
9

учебн
ый год)


















г.
Долгопрудный, 201
8

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

2


Составител
и
:
А.А. Лукьянов, кандидат физико
-
математических наук, доцент
.



Физика: задание №1 для 9
-
х классов (201
8



201
9

учебный год), 201
8
,
2
9

с.


Дата отправления заданий по физике и математике


27

сент
ября

201
8

г.


Задание посвящено
изложению основ

векторной

алгебры

в объ
ё
ме
, нео
б-
ходим
о
м для дальнейшего изучения
физики в рамках программы ЗФТШ.

Учащийся должен стараться выполнять все

задачи
и контрольные
вопросы
в заданиях. Некоторая часть
примеров и зад
ач

может оказаться
сложн
ой

и
п
о-
требуют
основательных
усилий при изучении
этих пр
и
меров и
решении

задач
;

о
ни обозначены
звездочкой ©*ª
. Мы рекомендуем приступать к
ним
в после
д-
нюю очередь, разобравшись внач
а
ле с более простыми.



Составител
и
:

Лукьянов Андре
й Александрович

Подписано в печать
10
.0
5
.1
8
. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,75.

Уч.
-
изд. л. 1,55.
Тираж
1
3
00. Заказ №
3
0
-
з.


Заочная физико
-
техническая школа

Московского физико
-
технического института

(государственно
го университета)

ООО ©Печатный салон ШАНСª


Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Московская обл., 141700.

ЗФТШ, тел./факс (495) 408
-
51
-
45


заочное отделение
,


тел./факс (498) 744
-
6 3
-
51


очно
-
заочное отдел
е
ние
,



тел. (499) 755
-
55
-
80


очное отделение
.


e
-
mail
:
zftsh
@
mail
.
mipt
.
ru


Наш сайт:
www
.
school
.
mipt
.
ru


© ЗФТШ, 201
8


Все права защищены. Воспроизведение учебно
-
методических материал
ов и
материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускае
т
ся
только с письменного разрешения правообладат
е
лей.

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

3

Введение

Традиционно
курс физики начинается с
изучения
механического
движения
,
которое определяют как
изменение положения тел и
ли их
частей в пространстве относительно

друг

друга с теч
е
нием времени.

У
же описание движения
простейшего объекта


материальной точки
(тела, размерами которого в данной задаче можно пренебречь)


треб
у-
ет введения
векторных

величин
:

радиус
-
вектора
(характеризующ
е
го положение точки в пр
о-
странстве

в каждый момент времени

t
), ве
к
тора
перемещения


(см. рис.

1)
, скор
о
сти

и др.

Что же такое векторная величина?
Напо
м
ним,

что некоторые физиче
ские величины полностью
хара
кте
ризуются
единственным
числом, которое
выражает отношение этой в
е
личины к единице
измерения. Такие величины называются
скаля
р-
ными.
Простейшие примеры их


масса, пло
т-
ность,

температура
.
Так
, т
е
м
пература
в Москве
25
о
С
полностью задана
одним числом

(25
о
С
);

нельзя, например, сказать, что она направлена под каким
-
то углом к
г
о
ризонту
, т
емпература никуда не направлена.

То же самое относится к
массе тела (но не к силе тяжести!), плотности вещ
е
ства
.

С другой стороны, д
ля характеристи
ки таких

физических величин
,
как
перемещение,
скорость,
сила,
необходимо

также

знать и их напра
в-
ление. Такие величины называются
векторными.
Они
являются пре
д-
метом изучения специального раздела математики, называемого ве
к-
торной алге
б
рой.

§
1
. Определение вектора
.

О
перации над вект
о
рами

1.

Основные определения.

Удивительно, но с векторными величин
а-
ми разной природы (
перемещение
м
,
скорость
ю
, сил
ой
, импульс
ом

и
др.) можно работать
в значительной мере
единообразно


как с геоме
т-
рическими объектами


геометрическ
ими

вектор
ами
,

или просто ве
к-
тор
ами
, хотя есть и нюансы

(см. ниже)
.

Вектор
пред
ставляет собой направленный отрезок прямой
,
для к
о-
торого

определены правила
(законы)
сложения
с другими векторами,
правило
вычитания векторов, правило умножения вектора на число,
скалярное произведение дву
х вект
о
ров

и
некоторые
др
угие операции.

Стрелка компаса


не

вектор, т.

к. для не
ё

нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоско
сти и в соот
ве
т
ствии со
сложившейс
я традицией обозначать их латин
ск
ими

букв
ами

со стрелк
а-
ми

наверху, например:

и т.

п.

Часто в целях экономии испол
ь-
зуют

упрощ
ё
нное обозначение


букву с
чертой, например,
или


Рис.

1

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

4

О
дн
у

из граничных т
о
чек
вектора называют

его началом, а друг
ую



к
онцом. Направление

вектора з
а
даё
тся от начала к концу, при
чё
м на
чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора назыв
а
ют
также
точкой его приложения.
Если точка

являе
т
ся нача
лом
в
ектора
,

то мы будем говорить, что вект
ор


прил
о
жен в точке


(рис.

2
).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют
мод
у-
лем
вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без
стрелки наверху, например: модулем вектора

является число

Ч
а-
сто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абс
о-
лютной величины и пишут
, например,


или
.

Вектор называется
нулевым
,

если
его
начало и
конец совпадают. Н
у-
левой вектор не имеет определё
нного направления и его длина (м
о-
дуль) равна нулю.

Векторы называются
коллинеарными
,

если они лежат либо на од
ной
прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис.
3

вект
о-
ры

коллинеарны.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину и одинаковое направление.

На рис.

4

слева изображены неравные векторы

и


и

а
справа


равные векторы

и

Т
очка приложения
ге
о
метрического
вектора

может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух
равных векторов, имеющих ра
з
ные точки приложения и получа
ющихся
один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим ве
к-
торы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены
с точностью до точки прил
о
жения).

В физике

точка при
ложения векто
ра
иногда
име
е
т принципиальное
значение
.

Д
остаточно в
спомнить рычаг
: две равные по модулю силы,
направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное де
й-
ствие, если плечи сил не равны друг другу.

И вс
ё

же
сами с
илы равны
друг другу!

Б
ывают и случаи, когда вектору трудно приписать ко
н-
кретную точку п
риложения. Например, если одна система отсч
ё
та дв
и-
жется

относ
и
тельно другой со скоростью

то какой точке приписать
эту скорость?

Всем точкам движущейся системы!

Рис
.
4

Рис
.
2

Рис
.
3

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

5

2.

Сложение
двух
векторов.

Пусть даны два прои
з
вольных вектора

и

(рис.

5
а). Для нахождения их

суммы

нужно п
е
ренести

вектор

па
раллельно самому себе

так, чтобы его начало совпало с концом ве
к-
тора
.

Тогда вектор, проведё
нный из начала в
ектора

в конец пер
е-
не
сё
нного вектора
, и будет являться суммой

и
.

На рис.

5
б


это
вектор

Описанное правило есть просто
определение

суммы

ве
к
торов.
К
ак и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слаг
а-
емых, и п
о
этому можно записать



(1)


Привед
ё
нное выше
правило геометрического сложения векторов
называется
правил
ом треугольн
и
ка
.

С
умма векторов может быть найдена и по
правилу параллелограмма
.
В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала ве
к-
торов

и

и построить на них
,

как на сторонах
,
параллелограмм
.

Тогда сумма

и

будет представлять собой диагональ этого пара
л-
лелограмма, конкретно


суммой

и

будет вектор, начало которого
совпадает с общим началом векторов

и

конец расположен в пр
о-
тивоположной вершине параллелограмма, а длина равна дли
не

указа
н-
ной диаг
о
нали (рис.


).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково ч
а-
сто примен
я
ются на практике. Когда
речь идёт о нахождении суммы
трёх и более векторов,
часто
последовательно использ
уют


пр
а
вило
треугольника.
Поясним сказа
н
ное.

3.

Сложение тр
ё
х и более векторов.

Пусть нужно сложить три ве
к-
тора

и

(рис.

6
). Для этого
по правилу треугольника
сначала
находится сумма

любых двух векторов, например

и

потом пол
у-
ченный вектор

по тому же правилу склад
ы
вается с третьим
вектором
. Тогда полученный
вектор

и
будет предста
в
лять
собой сумму трёх
векторов

и
.

Как и в сл
у
чае с
двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный резул
ь
тат.

Рис
.


Рис. 5б

Рис. 5в

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

6

Чтобы упро
стить процесс сложения трёх и более векторов, обычно
не находят промежуто
ч
ные суммы типа

а применяют
правило
многоугольника:
параллельными перенос
а
ми
из

конца первого вектора
откладывают второй,
из

конца вт
о
рого


откладывают третий
, из

конца
третьего



четвёртый и

т.

д. Так,
на рис.

7 вектор

представляет с
о
бой
сумму векторов

найденную по правилу многоугольн
и
ка:

Замечание.

Н
е всякая векторная сумма

может иметь физический
смысл.
Не всякие величины вообще
имеет смысл

складывать. Так,
например,
бессмысленно
говорить, что, если у меня температура 36,6
о

и
у вас тоже 36,6
о
, то вместе у нас температура 73,2
о
, хотя складывать
темпер
атуры
(числа)
никто не запрещает. Вс
ё

же чаще всего сумма
температур представляет собой никому не нужную величину; она редко
входит в какие
-
либо ура
в
нения (входит почти случайно).

Иное дело


с массой. Если си
с
тема состоит из тел с массами
m
1
,
m
2
,
m
3

и т.

д., то масса всей системы равна
m

=
m
1

+
m
2

+
m
3
 и

т.

д.
(
Если
на лифте
написано, что максимальный груз,

перевозимый лифтом, р
а-
вен 500 кг, то перед входом в лифт нужно убедиться, что
сумма масс

вн
о
симых в лифт грузов не превышает 500 кг.)
Говорят, что м
асса


есть
аддитивная величина

(от английского слова
add



добавлять, пр
и-
бавлять, складывать). А вот температура


не аддитивная в
е
личина.

Сила есть аддитивная векторная величина
. Если
к
телу в точке (или
к системе тел в разных
точках
!) приложены силы
,
,

и

т.

д., то
сумма векторов сил

есть

осмысленная и даже очень
нужная величина. Например, в условиях равновесия
тела
сумма
всех
приложенных к нему
сил
, даже если силы прил
о-
жены
в

разны
х

то
ч
ках
тела. Причём

это относится не только к тв
ё
рдым
тела
м
. Если
нитка

подвешена за два конца

к двум гвоздям, а в пром
е-
жутке перек
и
нута
еще
через какие
-
нибудь гвозди, то
сначала нужно
найти силы со стороны ка
ждого из гвоздей и силу со стороны Земли
(силу тяжести)
,
,
, …
;

п
ри этом говорят, что
к
нитке прилож
е-
на сумма сил
; в условиях равновесия эта сумма будет

равна н
у
лю.

Рис. 6

Рис. 7

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

7

Не так со скоростями.
Если система состоит из двух частиц
,

име
ю-
щих в некоторый момент времени скорости
и
, то это
не

означает,
что в это
т

м
о
мент вся система обладает скоростью равной векторной
сумме
.

Никто не запрещает складывать векторы скорости

ра
з-
ных частиц
;
но
с точки зрения физики вектор

ничему прип
и
сать

нельзя
.
В этом смысле с
корость


не аддитивная величина.
Суммой
скоростей
(векторной суммой)
интересуют
ся
,
когда одно движение
накладывается на другое


апример, Земля вращается вокруг Солнца,
но вместе с Сол
н
цем движется вокруг центра Галактики
)
.
А вот сумма
скоростей отдельных частиц системы
(например, сумма
скоростей
звезд в Галактике)
физического интере
са
не пре
д
ставляет
.

Р
одственная с
корости

величина
,

с которой вы еще не раз встрет
и-
тесь в курсе физики,
импульс

материальной точки
,
равн
ый

произвед
е-
нию массы на скорость,

снова


величина аддитивная.

В п
о-
следнем равенс
т
ве мы встречае
мся с умножением вектора на
скаляр.
Поясним эту пр
о
цедуру
.

4
.
Умножение вектора на скаляр.

Произведением вектора

на чи
с-
ло

называют
новый
вектор
коллинеарный вектору

направ
ленный в ту же сторону, что и вектор

если

и в прот
и-
вопо
ложную ст
о
рону
,
если
, а

модуль

равен







(
2
)

где



абсолютная величина чи
с
ла


Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скаля
р-
ным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска
-
лярным множителем, не равны
м нулю, то они коллинеа
р
ны.

В случае, когда

или

прои
з-
ведение

представляет с
о
бой нулевой

вектор,
направ
ление которого не

оп
редел
е-
но. Если

то согласно (
2
)


и ве
к-
торы

и

равны (рис.

8
а).
При

п
о
лучим


Вектор


и
меет мо
дуль,
равный

модулю
вектора

но
направлен

в противо
положную сторону

(рис.

8
б). Два

вектора,

прот
и
воположно
направленные и имею
щие

рав
ные длины,
называ
ют
ся
противополо
ж
ными
.

Импульс тела

коллинеарен вектору скорости и направлен с
ней в одну сторону, т.

к. массы все
х тел положительны. Чуть ранее г
о-
ворилось об аддитивности импульса. Если система состоит из матер
и-
альных точек с массами
m
1
,
m
2
,
m
3

, которые в некоторый момент
времени имели скорости
, …
,
т.

е. имели и
м
пульсы
,
,
, …

,
то вся система в этот момент обладает и
м-
пульсом


.

Рис. 8а

Рис.

8
б

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

8

При этом каждое из слагаемых
здесь
должно быть найдено по пр
а-
вилу умножения вектора (скорости

данной частицы
) на скаляр (
е
ё

ма
с-
су), а затем все эти векторы должны быть

сложены
, например, по пр
а-
вилу многоугольн
и
ка.

5
.
Разность двух векторов
.

Вычесть из вектора

вектор

означ
а-
ет прибавить к вектору

ве
к
тор

:
; см. рис.

9,

а
-
б
.

§
2
.
Проекция вектора на заданное направл
е
ние.

Проектирование векторов на оси коорд
и
нат

1.

Проекция вектора на заданное направление.

Пусть заданы два
вектора

и
.

Приведём эти векторы к о
д-
ному началу

(рис.

1
0
). Угол, образованный
лучами, исходящими из точки

и напра
в-
ленн
ы
ми вдоль векторов

и

наз
ы
вают
угл
ом между векторами

и
.

Обозначим
этот угол ч
е
рез

Число

называется проекцией
вектора

на направление вектора

Прое
к-
ция

вектора

пол
у
чается, если из его конца
опустить перпендикуляр на направление ве
к-
тора


(рис.

1
0
), тогда расстояние от общего

нач
а
ла

векторов



точки
О



до точки пересечения указанного перпендикуляра с прямо
й, на к
о-
торой лежит вектор

будет равно модулю проекции вектора

на
напра
в
ление вектора

Угол

может принимать различные зн
а
чения,

поэтому в зави
симости от знака

проекция
может принимать п
о
ложительные, отрицательные
значения или нуль. Например, если угол

тупой,
т.

е. больше, чем 90
о
, но меньше 180
о
, то косинус
такого угла отрицат
е
лен (см.

рис.

1
1
)
.

Рис. 1
0

Рис.

11

Рис.



Рис.



2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

9

Проекция равна нулю
, если направления векторов

и

взаимно
перпендикулярны (см.

рис.

1
2
)
.

Проекции равных векторов
на любые направл
е-
ния
равны

друг другу
. Проекции противоположных
векторов отл
и
чаются знаком.

Легко показать, что пр
оекция суммы векторов
равна алгебраической сумме их проекций и что при
умножении вектора на число его проекция умнож
а-
ется на то же чи
с
ло.

2
.

Разложение вектора
.

До сих пор мы говорили о сл
о
жении векторов. Для решения многих
задач бывает необходимо произвес
ти обратную пр
о
цедуру


разложить
вектор на составляющие, например, найти несколько сил, которые св
о-
им совместным действием могли бы зам
е
нить одну данную силу. Такая
операция называется
разлож
е
нием сил.

Пусть на плоскости задан ве
к
тор

и две пересекающиеся в точке
О

прямые
ОА

и
ОВ

(см.

рис.

13)
. Вектор

можно представить в виде
суммы двух векторов, направленных вдоль заданных прямых.
Для эт
о-
го п
араллельным переносом совместим начало вектора

с то
ч
кой
О

пересечения прямых. Из конца
вектора

провед
ё
м
два отрезка
пр
я
мых, параллельных
ОА

и
ОВ
.
В результате получится паралл
е-
лограмм.
По построению

(*)
. Векторы

и

называются

соста
в
ляющими

ве
к-
тора


по заданным направлен
и-
ям
, а само представление вектора
в виде суммы (*)


разложением
вектора по двум направлен
и
ям.

Пример
1
.
В ч
ё
м разница между проекцией вектора на ось и соста
в-
ляющей (к
омпонентой) вект
о
ра вдоль этой оси?

Ответ
. Проекция вектора



скаляр; составляющая вектора вдоль
этой оси


вектор, направленный вдоль этой оси.

Пример
2
.

Пусть
1, угол между прямыми
ОА

и

ОВ

равен
=45
о
,
а угол

между векторами

и
равен
=15
о
.
Определите модули ве
к-
торов

и

в разложении (*)
, а также значения проекций вектора

на

направления

и

(см.

рис.

13).

Решение
.
,
. Д
а-
лее по теореме син
у
сов
, откуда

и

аналогично
.

Рис.

12

Рис.

13

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

10

3
.

Проектирование вектора на оси координат
.
Особенно
важен
частный случай р
азложени
я

вектора по двум взаимно перпендикуля
р-
ным направлениям.

Пусть
на плоскости задана прямоугольная система
координат

и некоторый вектор
.

О
т
ложим из

начала координат
вдоль положительного направления осей

и

векторы

и

с
о-
ответственно такие, что

и

Векторы

и

назовё
м
ед
и-
ничными век
тор
а
ми.

Перенесём
вектор

так,
чтобы его начало совпало с началом коо
р-
динат. Пусть в
этом положении он изображается направленным

от
-

резком

(рис.

1
4
). Опустим из точки

перпендик
у
ля
ры на оси


и
. Тогда
векторы

и

будут

составляющи
ми
ве
к-
тора
по к
о
ординатным
осям,
прич
ё
м ве
к-
тор

будет

коллинеарен
вектору

,

а ве
к-
тор

колли
неарен

векто
ру
.

Следов
а-
тельно,

сущ
е
ствуют такие числа

и

что

и

Таким
образом,
вектор

м
о
жет быть пре
д-
ставлен в виде

ра
з
ложения по осям
:







(
3
)

Числа

и

суть прое
к
ции вектора

на направления векторов

и


соответственно,
то есть
на оси

и
.

Используется и
ин
ая
,
чем

(
3
), форм
а

записи векторов, а именно

Иногда говорят о составляющей вектора вдоль
одной

единственно
й

оси



без указания второ
й
.
Просто м
олчаливо предполагается, что вт
о-
рая ось
пе
р
пендикуляр
на

первой (но
почему
-
то

не нарисована)
.

Пусть угол между положительным напр
авлением оси


и вект
о-
ром

р
а
вен

(рис.

14
). Тогда

В зависимости от значения угла

проекции
вектора

на оси пр
я-
моу
гольной

системы

координат

могут

быть

положительными,

отриц
а-
тельными или ра
в
ными
нулю.

Зная проекции вектора

на оси коо
р
динат, можно найти его вели
-
чину и нап
равление
п
о форм
у
лам
:


и


(
4
)


(
5
)

причём знаки

и

будут указ
ы
вать на то, какому квадранту при
-
надлежит знач
е
ние

Рис. 14

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

11

4
.

Пусть теперь нам задано векторное
равенство

(рис.

1
5
). Проект
и-
руя все векторы на оси координат, пол
у-
чим очевидные


раве
н
ства


и
ли



т.

е. по проекциям

векторов

и

легко
находят
ся проекции
сумма
р
ного

вектора

.

§
3
. Скалярное произведение вект
о
ров

1
.

Определение.
Скалярным произведением
двух векторов

и

называется число, равное произведению модулей этих векторов на к
о-
синус у
гла между ними, и обозначается

Т
а
ким образом,




(
6
)

Иногда
используют более сложные обозначения для скалярного
прои
з
ведения векторов:

или даже
.

Если векторы

и

ортогональны

то

и поэтому

Скалярное произведение двух векторов также равно нулю, е
с-
ли хотя бы один из векторов являе
т
ся нулевым.

Если векторы коллинеарны и одинаково направлены, то

поэтому скалярное произведение векторо
в

и

равно произвед
е
нию
модулей векторов

и
.

В частности, скалярное произведение вект
о
ра
на самого себя равно квадрату его модуля:

2
. Имее
тся ещ
ё

одна
важная
форма записи скалярного произвед
е
ни
я
:

через проекции векторов в прямоугольной системе координат
хОу
.
Пусть в некоторой системе координат векторы

и

имеют координ
а-
ты

и

Тогда для скалярного произведения векторов
справедлива
фо
р
мула



(7)

Действительно, имеем
,

или после п
е-
ремножения скобок
.
Учит
ы-
вая, что векторы

и

единичные и взаимно перпендик
у
лярные,

и

получим (7).

Рис. 15

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

12

Уточнение

(написано по просьбе
Володковича Н.А.
, преподавателя
школы Смоленс
кой обл.)
.
Кажущееся привычным перемножение ск
о
бок


не так очевидн
о для векторов
. Во всяком случае, нужно ещ
ё

доказать,
что

он
о

согласуется с определением (6) скалярного произведения.
Д
о-
кажем, что

.

(*)

Для это
го заметим, что скалярное произведение
(6)
можно переписать в
виде


где



проекция вектора

на направление
ве
к
тора
. (Можно было записать и

иначе:


где



проекция вектора

на направление вектора
.)

Далее


цепочка пр
о-
стых выкладок:

,

,

откуда следует равенство (*)

(было введено обозначение
)
.

При
другом выборе

системы координат векторы

и

имели бы
другие

координаты

и
.

П
о
этому

могло бы показаться,
что
в новой системе коорд
и
нат

скалярное произведение векторов (7)

будет иметь другое значение
. На

самом деле, согласно (6) величина
скалярного произведения останется такой же: модули векторов и угол
между ними не зависят от п
оворотов и сдвигов системы коорд
и
нат.

Пример
3
.
,
а

 5. Определите
.

Реш
е
ние
. Согласно формуле (4) имеем
,
откуда

и
=
4. Заметим, что условию задачи
удовлетворяют два разных ве
к
тора (см. рис.

1
6
).

Пример
4
.
Векторы

и

коллин
е-
ар
н
ы друг другу. Определит
е

.

Решение
.
Вектор

паралле
лен оси
Oy

(перпендикулярен оси
Ox
:
a
x

= 0).
Поэтому коллинеарный ему вектор

также должен быть перпе
н-
дикулярен

оси
Ox
, т.

е. должно выполняться равенство
b
x

= 0,
или

=0.

Рис.

16

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

13

Пример
5
.
Векторы

и

перпендикулярны друг
другу. Определит
е

.

Решение
.

Векторы

и

перпендикулярны друг другу, поэтому
равно нулю скалярное произведение этих векторов (см. формулу

(6) и
вывод после не
ё
). Тогда п
о формуле (7) для скалярного произведения
векторов им
е
ем:
, откуда

=

15
.

Пример
6
.
. Дока
жите
, что

Решение
.

Надо доказать, что
скал
ярное произведение векторов

и

равно нулю. В самом деле,

.

Пример
7
.
Векторы
,
,

составляют тр
е-
угольник (см. рис
.

1
7
). Воспользовавшись сво
й-
ствами скалярного произведения векторо
в
, д
о
к
а-
жите

теорему косин
у
сов




(8)

Решение
.

По условию задачи имеем
.
Квадрат м
одул
я

вектора

можно
представи
ть как скалярное произведение его на самого себя:

Вычислим это скаля
р
ное произведение:


Угол

между векторами


и

и угол

(см. рис
.17)



два смежных
угла, т.

е.
=180
о



. П
о
этому

имеем

.

Пользуясь известной из тригон
о
метрии формулой приведения

получаем фо
р
мулу (8
)
.

Пример
8
.
Най
дите
угол

между векторами

и

Решение
. По определению скалярного произведени
я


,

где

искомый угол,

и

модули векторов

и

соответственно. Отсюда
.

В свою оч
е
редь,




Т
о
гда
.

Отсюда

Рис.

17

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

14

Рис.
18

§
4
. Примеры из физики

Простейшие примеры векторов в физике


ск
о
рость и сила
.

1.

Всякое движение можно представить как результат сложения н
е-
скольких движений, его составляющих.
С
корость результ
и
рующего
движени
я изображается по величине и направлению диагональю п
а-
раллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составля
ю-
щие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пр
и
мер.

Пример
9
.

Р
ыбак переправляется на ло
д-
ке

через реку, к
оторая течёт в сторону,
указанную стрелкой (рис.

1
8
). Пусть ск
о-
рость течения воды

изображается по в
е-
личине и направлению отрезком
,

а ск
о-
рость

движения лодки относительно воды
под влиян
ием ус
и
лий гребца изображается
отрезком




стоячей воде лодка двиг
а-
лась бы по направлению

со
скоростью
).

Лодка будет

двигаться
относ
и
тельно берега по направлению

со скоростью

изобража
е-
мой
ди
а
гональю

параллелограм
ма, постро
енного на векторах

и

(в да
н
ном случае параллелограмм
ABDC

является прямоугольн
и
ком).

2.

Сила



как векторная величина


всегда имеет определённое
направление, модуль, а также точку прилож
е
ния.

Часто встречаются случаи, когда на тело де
й-
ствуют несколько сил. Тогда бывает удобно зам
е-
нить их одной силой, к
о
торая производит на тело
такое же действие,
как и несколько одновр
е
менно
действующих сил. Такую силу (если она существ
у-
ет) называют
равнодействующей.
Нахождение ра
в-
нодействующей н
е
скольких сил осу
ществляется с
по
мощью правил векторного сложения, при этом
слага
емые силы назы
вают
составля
ю
щими
.

Так,
несколько сил, действующих на о
д
ну и ту же точку тела,
всегда
можно заменить одной равн
о
действующей,
как бы ни были направлены
силы
и каковы
бы ни были их величины. Пусть, например,
на тело де
й
ствуют четыре
силы


и


прило
женные к одной
точке

и л
е-
жащие в одной плоскости (рис.

19). Тогда
их равнодействующая

будет равна ве
к-
тор
ной сумме этих сил, найденной по
пр
а-
ви
лу
мног
о
угольника (рис.

20).

Рис.

19

Рис. 20

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

15

Рис.

2
1

Пример 10
. Найти равно
действующую

тр
ё
х равных по модулю
сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной
плоскости, если углы между всеми силами равны ме
ж
ду собой.


Решение
. См. рис. 21. Углы между парами вект
о-
ров

и
,

и
, а также между векторами

и
, равны друг другу и ра
в
ны 120
о
. Сло
жим

силы


и

по правилу параллелограмма. Вследствие
р
а
венства модулей сил

и

этот параллел
о-
грамм есть ромб. Сумма сил
+

есть диагональ
ромба, поэтому углы между пара
ми вект
о
ров

и
+
, а также

и
+

равны по 60
о
, т.

е. ве
к
торы

и
+

направлены вдоль одной прямой, но в противоположные ст
о
роны. С
и-
ловой п
а
раллелограмм, построенный на векторах

и
, состоит из
двух равносторонних треугольников, поэтому м
о
дуль силы

|
+
| =
=

т.

е

откуда следует
.

Пример 1
1
*
.

К телу приложено 6 сил, лежащих в одной плоскости
и составляющих друг с другом углы в 60
о
. Силы последовательно ра
в-
ны 1, 2, 3, 4, 5 и 6 Н. Найти равнодейству
ю
щую

этих 6
-
ти сил.

Решение
.

Сложение сил по правилу многоугольника здесь нецел
е-
сообразно. Поступим иначе.
Сложим сначала попарно силы, напра
в-
ленные вдоль одной пр
ямой (см.

рис.

22,

а
-
в).
П
олучим

,

аналоги
ч
но


и


Сумма сил

направлена вдоль вектора
. Туда же направлена и
сумма сил
, прич
ё
м модуль этой силы

равен

3
. В ит
о-
ге получаем, что сумма всех шести сил

направл
е
на вдоль направления силы
, а модуль этой силы
|
|

 3  3  6 Н
.

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

16

Рис. 23













Пример 1
2
*
.

Найт
и равнодействующую

пяти равных по модулю сил, приложенных к
т
е-
лу в
одной точке и расположенных в одной пло
с-
кости, если углы между всеми
соседними
силами
равны между с
о
бой (см.

рис.

2
3
).

(Эти
уг
лы, р
а-
зумеется, ра
в
ны


Решение
. В отличие от предыдущего прим
е
ра
здесь мы имеем неч
ё
тное число сил, поэтому н
е-
возможно образовать из них целое число пар. Поступим ина
че.

Воз
ь-
м
ё
м какую
-
нибудь силу, например,
, а остальные сгруппируем в п
а-
ры и п
опарно сложим их (см.

рис.

24):

и
.

Почему удобна именно такая группировка
сил в пары? Дело в том, что обе суммы сил
(
и

и
)

направлены вдоль линии
действия силы
.
Ясно, что р
авнодейств
ующая
всех сил б
у
дет направлена вдоль линии действия

силы
.
Модули
сумм
сил легко найти из ге
о-
метрии. Например, в силовом параллелограмме,
построенном на векторах

и

, который я
в-
ляется ромбом,
длина
диагонал
и

ромба (м
о
дуль
силы
) равна удвоенной половинке ди
а-
гонали, а та легко ищется из любого из 4
-
х прямоугольных треугольн
и-
ко
в
, на которые
ромб
ра
з
бивается диагоналями. В р
езультате
Рис.

22а

Рис.

22б

Рис.

22в

Рис.

24

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

17

, где
F



модуль любой из 5
-
ти исхо
д
ных сил.
Аналогично
. В итоге для модуля искомой силы
получаем формулу

(*)
.
Для углов
72
о

и
36
о

нет таких простых формул, как для углов 30
о
,

45
о

или 60
о
. Польз
у-
ясь калькулятором, можно, однако, п
о
казать, что согласно формуле (*)
R

= 0
.

Имеется и более
красивое доказательство

того, что результиру
ю
щий
вектор есть нулевой вектор.
В самом деле, мы довольно прои
з
вольно
взяли в качестве силы, которо
й не хватило пары, силу
.

Если бы в
качестве т
а
кой взять силу
, а в пары объединить

и

(одна пара)
и

и
, то, повтори
в рассуждения, получим, что равнодейс
т
вующая
всех пяти сил

должна быть направлена вдоль линии дейс
т
вия силы
.
Возможно ли, чтобы вектор был одновременно напра
в
лен вдоль
двух несовпадающих друг с другом направ
лений (и
, и
; а на с
а-
мом деле
, как догадался читатель,

ещё

и
вдоль направления де
й
ствия
сил
,

и
!)
?

Ненулев
ым

вектор
не

может

быть
! Оста
ё
тс
я одна
возможность
:

суммарный
вектор



нул
е
вой!

В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллел
о
грамма
суммы
сил
. В примере 12 нас
интересовала лишь
проекция

равнодейству
ю-
щей силы на направление (например, силы
). В следующих прим
е-
рах наш интерес будет также скорее
не к ра
в
нодействующей силе
, а
только

к
каким
-
то е
ё

проекц
и
ям
.

Рис.

25

Рис.

26

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

18

Пример 1
3
. Электрический фонарь весом
Q

 16 Н у
крепл
ё
н, как
показано на рис.

2
5
.

Определит
е

отношение натяжений
T
1

и
T
2

в пров
о-
локах
BA

и
BC
, углы наклона ко
торых даны на р
и
сунке.

Решение
.

В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к
т
очке
В
, равна нулю. По
э
тому проекция р
авнодейств
ующей всех сил на
горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы со ст
о-
роны
проволоки, идущей к
фонар
ю,

на это н
аправление
равна нулю
(эта сила вертикальна). Остаются вклады от двух натяжений со стор
о-
ны проволок
ВА

и
ВС
. Горизонтал
ь
ную ос
ь

направим слева направо.
Тогда им
е
ем:

(см. рис.

26)
,
т.

е.


(или

откуда получ
а
ем

Пример 1
4
*
.

Однородная
массивная
вер
ё
вка подвешена за два ко
н
ца на ра
з-
ных высотах (см. рис
.

2
7
).
Масса вер
ё
в-
ки
m
.
Углы, которые составляет вер
ё
вка
с вертикалью в точках закрепления,
равны 30
о

и 60
о
.
Определи
те
силы нат
я-
жения вер
ё
вки вблизи
её
точек крепл
е-
ния
.

Решение
. Задача кажется очень труд
-
ной, т.

к. не ясно, какую роль
и
грает неизвестная нам форма верё
вки, которую она примет под де
й-
ствием сил тяжести всех частей в
е
р
ё
вки. (В предыдущем примере мы
не инте
ресовались провисанием проволок под действием силы т
я
жести,
молчаливо считая провисание малым.) И всё же задача в той постано
в-
ке, в какой дана, имеет простое
решение.

М
ысленно провед
ё
м г
о-
ризо
н
тальную ось

слева направо
.
Поскольку вер
ё
вка находится в
равн
о
в
есии, то сумма проекций
всех сил на горизонтальное
направление равна н
у
лю. Сила
т
я
жести вер
ё
вки имеет нулевую
пр
о
екцию на это направление (эта
с
и
ла направлена вертикальн
о
).
Снова остаются вклады от двух
натяж
е
ний

(см.

рис.

28)
:

или


Рис. 27

Рис. 28

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

19

Пол
а
гая

и

находим

Мысленно
пр
о
вед
ё
м ещ
ё

и верт
и
кальную ось, направив е
ё

вниз. Сумма проекций
всех сил на эту ось также равна нулю:

Учит
ы
вая найденное ранее соотн
о
шение между
Т
1

и
Т
2

и значения


и

получаем:


отк
у
да

и

Пример 1
5
.

На гладкой наклонной плоскости с
углом наклон
а

лежит

брусок массой
m
. Какую
горизонтальную силу нужно прил
о
жить к бруску,
чтобы он н
аходился

в покое

(см.

рис
.

2
9
)?
Опр
е
д
е-
лите также модуль нормальной силы реакции
на
брусок
со стороны наклонной плоскости.

Решение
. Брусок по усл
овию задачи
покоится. Значит, сумма всех
сил, приложенных к бруску
,

равна нулю. Равны нулю и суммы прое
к-
ций сил на любые направления
,
в частности,
на направление вдоль наклонной плоскости
и перпендикулярное ему. Нормальная сила
реа
к
ции

со стороны наклонной плоск
о-
сти имеет равную нулю соста
в
ляющую
вдоль наклонной пло
с
кости.

Проекция сила тяжести

на ось
Ох

вдоль наклонной плоскости
(см. рис.

30)
равна

а проекция горизонтальной
с
и
лы
F

на э
ту ось равна

Других сил
вдоль наклонной плоскости не действует
(плоскость, по условию задачи, гладкая, т.

е. сила трения пренебреж
и-
мо мала). Приравнивая нулю сумму проекций на ось
Ох

всех сил, де
й-
ству
ю
щих на тело, получаем:

откуда находим


Для отыскания
N

обратимся к проекциям сил на направление
Оу
.
Прира
в
няем нулю и сумму проекций на ось
Оу
:


Рис.

30

Рис.

29

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

20

откуда
, или с уч
ё
том найденного значения
F
:

тогда
с уч
ё
том о
с
новного
тригонометрического тождества,

получаем оконч
а-
тельно

Пример 1
6
. На шероховатой п
о-
верхности доски лежит брусок ма
с-
сой
m
. К нему приложена сила,
направленная под уг
лом

к гор
и-
зонту

(см.

рис.

3
1
)
. Определит
е м
о-
дуль нормальной силы реакции со стороны п
о
верхности.

Решение
.

Поскольку брусок не проваливается и не подскакивает
вверх, то сумма проекций сил на вертикал
ь
ную
ось равна нулю:


(см. рис. 32),

откуда нах
о
дим


Замечание
. Часто совершенно безосновател
ь-
но приравнивают силу реакции
N

силе тяжести
mg
. Мы видим, что даже в случае горизонтальной
поверхности это в общем случае не так. Для
наклонной плос
кости это тоже не так. В пред
ы-
дущем примере нормальная сила реакции равн
я
лась

.

Кстати,
если бы удержив
а
ющая сила
F

действовала
там
не вдоль горизонтали, а
вдоль наклонной плоскости, то
для уде
р
жания бруска на наклонной
плоскости

потребовалась бы сила величиной
,

а нормал
ь-
ная сила реакции была бы равна

(
и

снова
не

равнялась бы
mg
!)
Д
ока
жите

это сам
о
стоятельно
.

Пример 1
7
. Самолёт взлетает с аэродрома со
скоростью

под углом

к
горизонту. Найдите модули горизо
н
тальной и
вертикальной составляющих скорости сам
о
лёта.

Решение
.

См.

рис.

33. В данном примере мы имеем дело с весьма
простым случаем
разложения

скорости на два взаимно пе
р
пендикуля
р-
ны
х направления:



Рис.

31

Рис.

33

Рис.

32

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

21

Пример
1
8
. В

безветренную

погоду самол
ё
т летит

со

скоростью
1
80

км/ч
(
50

м/с)
относительно земли. С какой скоростью относительно
земли будет лететь самол
ё
т, если дует з
ападный
ветер со скор
о
стью 1
0

м/с?

Решение
.

См.

рис.

3
4
.

В данном случае мы
имеем дело со
сложен
и
ем движений
:


где
скорость самолё
та отн
о-
сительно воздуха (модуль кот
о
рой равен скор
о-
сти самол
ё
та относительно зем
ли в безветре
н-
ную погоду), а

скорость возду
ха.

Далее по
теореме Пифагора п
о
лучаем:

51 м/с.

Пример 1
9
. Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью
u

=

3 км/ч. Скорость лодки в стоячей воде
=

5

км/ч. Под каким углом

к нормали
к берегу
надо направить лодку, чтобы она двигалась п
о-
перек реки (без сн
о
са)? Какой будет при этом
модуль

скорости лодки
относительно б
е
рега?

Решение
.
Как и
в
п
римере
9
, мы также имеем дело со случаем
сл
о-
жения движений
. Но там

было проще:
не требовалось выбирать ник
а-
кой стратегии
,
рыбак лишь наблюдал, как снес
ё
т
его лодку течением воды в реке. Если бы вода в
реке поко
и
лась, то, направив
корпус

лодки под
углом

к нормали, мы заставили бы е
ё

д
вигаться
в направлении вектора

(см.

рис.

35)
.
В действ
и-
тельности, вода в реке не стоячая, а имеет скорость
.

Поэтому сносимая течением лодка будет дв
и
гаться
в направлении
вектора

таком, что

.

Учитывая, что оба тр
е
угольника в п
а-
раллелограмме на рис.

35 прямоугольные (
по условию,
лодка должна
двигаться перпендикулярно берегам)
,

нах
о
дим



а по теореме Пифагора
м/с.

Ри
с. 34

Рис.

35

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

22

Пример
20
*
.

Лодка пытается пересечь

реку, текущую со

скор
о
стью

u

=

5 км/ч. Скорость лодки в стоячей воде

Под каким у
г
лом

к нормали к бер
егу надо направить
корпус
лодк
и
, чтобы е
ё

снесло
как можно меньше? Под каким углом

к нормали к берегу б
у
дет при
этом плыть лодка?

Решение
:
В данном примере скорость ло
д
ки относительно воды
мень
ше, чем скорость воды в реке,

поэтому реализовать план
из
предыдущего примера (
рис.

35
)

невозможно.
Наша цель сост
о
ит в том,
чтобы направить
корпус
лодк
и под таким углом

к нормали к берегу
,
чтобы

сносимая течением лодка двигалась под углом

по возможн
о-
сти наименьшим

(см.

рис.

36
а



в)
.

В данном примере складывать ск
о-
рости (лодки относительно воды

и воды в реке
) удобно по прав
и-
лу треугольника, а не параллелограмма: приставим
начало вект
о
ра

к
концу вектора
.

Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом
сноса), будем мысленно поворачивать вектор
.

При этом конец ве
к-
тора будет описывать окружность с центром в к
онце вектора

Из р
и-
сунков

36

а
-
в

видно, что
м
инимальному углу сноса
лодки

соотве
т-
ствует
случай, когда
вектор

направлен по касательной к этой
окружности. При этом вектор
,

т.

е. треугол
ь
ник скоростей на

рис.

36в прямоугольный. Отсюда получаем:











Пример 2
1
*
.
Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и
выбирая вер
ё
вку, которая прив
язана к носу ло
д-
ки, со скоростью

(см.

рис
.

3
7
). Какой будет
скорость лодки
u

в м
о
мент, когда вер
ё
вка будет
составлять угол

с горизонтом? Вер
ё
вка нера
с-
тяжима.

Решение
.
Традиционная ошибка решающих эту задачу с
остоит в
том, что пытаются
разл
о
жить движение лодки на два направления



горизонтальное и вертикальное, делая
(
неправил
ь
ное!
)
построение,
Рис. 36а

Рис.

36
б

Рис. 36в

Рис.

37

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

23

как показано на рис. 38а

и получая
неверный ответ

u

=
cos

Что
здесь не
пр
авильно
? В отличие от самол
ё
та из примера 1
7
, который дв
и-
гался под отличным от нуля углом к горизонту (см.

рис.

33), здесь ло
д-
ка движется
горизонтально
!

Сделаем другое разложение скорости ло
д-
ки

по двум направлениям


вдоль вер
ё
вки (
в данный момент врем
е-
ни!) и перпендикуля
р
но ей (см.

рис.

38

б).








Проекция вектора

на направление в
е
р
ё
вки будет равна скорости
,

с
которой выбирают вер
ё
вку:

п
о
этому

Поясним ещ
ё
, почему проекция вектора

на
направление вер
ё
вки будет равна скорости

с
которой выбирают вер
ё
вку. Если мы имеем а
б-
солютно твердое тело
(АТТ),
деформациями в
котором можно прен
е
бречь
,

или нерастяжимую
нить (но уже макс
и
мально натянутую), то как бы
ни двигались
А
ТТ или
нерастяжимая
нить, они
будут обладать следующим свойством. Возьм
ё
м
две прои
з
вольные точки

А

и
В

нити

или АТТ
и
мысленно соединим их прямой. Тогда составляющие скор
о
стей
в
ы-
бранных

точек вдоль этой прямой в любой момент времени б
у
дут ра
в-
ны друг другу:

(см.

рис.

39)
. В противном случае

изм
е
нялось
бы расстояни
е между точками
А

и
В
. С
оставляющие с
корости
,

перпе
н-
дикулярные отрезку прямой
АВ
,

могут быть при

этом л
ю
быми.

Рис.

38
б

Рис. 39

Рис.

40

Рис.

41

Рис.

38а

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

24

Пример 2
2
.
Две лодки
1

и
2

буксируют третью лодку с помощью
двух тросов (см.

рис.

4
0
). В некоторый момент времени силы натяж
е-
ния тросов, идущих от лодок
1

и
2
, равны друг другу по модулю и ра
в-
ны
F
. Угол между тросами равен
.

Какая р
авнодейств
ующая сила
приложена к буксируемой лодке со стороны тянущих е
ё

л
о
док? Чему
будет равна

эта сила в случае малого угла

(когда буксирующие ло
д-
ки тянут третью лодку почти в одном напра
в
лении)?

Решение
.

Две силы ну
жно сложить по правилу параллелограмма,
который в данном случае будет ещ
ё

и ромбом с перпендикулярными
друг другу диагоналями, разбиваю
щими

его на четыре равных прям
о-
угольных треугольника. Из геометрии рис.

41 видно, что модуль р
авн
о-
действ
ующей силы
R

раве
н удвоенной
длине прилежащего катета:

При стремлении угла между направлениями тросов к н
у-
лю

при

Хитрее оказывается похожая задача, когда заданы не силы, а скор
о
с
ти.

Пример 2
3
*
. Две
лодки
1

и
2

буксируют третью лодку с помощью
двух тросов (см.

рис.

4
2
). В некоторый момент времени модули скор
о-
стей лодок
1

и
2

равны друг другу и равны
.

Найти модуль и
направление скорости буксируемой лодки
u
. Т
росы н
е
растяжимы. Чему
будет равна эта

скорость в случае малого угла

(
когда
буксиру
ю
щие
лодки тянут третью лодку почти в одном направл
е
нии)?











Решение
.

Ясно, что
©
решение
ª


(как в пред
ы
дуще
м

при
-
мере
)
не подходит, т.

к. при

мы получили бы, что

чего
не может быть
.

Е
сли
, например,

две собаки в упряжке бегут с

одинак
о-
выми

скоростями

в одном направлении, то и скорость упряжки будет
ра
вна
э
той же скор
о
сти

(если, конечно, упряжка не отцепилась или к
ней не подключили дополнительно м
о
тор).

Рис.

42

Рис.

43

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

25

Решение задачи
такое же, как
в примере 21.
В данном примере ва
ж-
нейшими словами являются ©Тросы нерастяжимыª.
Ясно, что правил
ь-
н
ое построение
, учитывающее это условие,

дол
ж
но быт
ь

таким,
как на
рис.

43
, откуда немедленно получаем

п
о
этому
.

Тогда в предельном сл
у
чае, когда

имеем
,

как и дол
жно
быть.

З
аметим
, что четыр
ё
хугольник на рис. 43 весьма мало похож на п
а-
раллел
о
грамм из предыдущего примера. Еще меньше будет похож на
параллело
грамм этот четырё
хугольник, когда модули скор
о
стей

(см. рис. 44)
.















Прим
ер 2
4
*
.

Две лодки буксирую
т

третью с п
о
мощью двух тросов
(рис.

4
5
). В некоторый момент времени скорость 2
-
й лодки в 2 раза
больше, чем скорость 1
-
й,

а угол ме
ж-
ду тросами равен

В каком направлении и с к
а-
к
ой скоростью дв
и
жется в этот момент буксируемая
лодка? Тросы нерастяж
и
мы.

Решение
.

В данном случае четыр
ё
хугольник

на
рис.

44 будет пр
я
моугольником


с
м.

рис.

4
6 (т.

е.
вс
ё

же параллелограммом).
По определению танге
н-
са угла

,

откуда,

пользуясь кальк
у-
лятором, нах
о
дим


Модуль скорости буксируемой лодки найд
ё
м по
теореме Пифагора (раз уж у нас
©
случайно
ª

появ
и-
лись прямоугольные треугол
ь
ники):

=
2,
2

Рис.

44

Рис.

46

Рис.

45


2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

26

Контрольные вопросы
(лё
гкие зад
а
чи)

1.

Даны два вектора

и
.

Найти: а)
; б)
;
в)
; г)
; д)
.

2.

Какие из векторов
,

и

коллинеарны
друг другу?

3.

Вектор

перпендикулярен вектору
.
Д
о-
кажите, что модули векторов

и

равны
другу
другу:
. Приведите пример таких ве
к
торов.

4.

Определите углы между векторами, показанными на рис.

47.

5.

На рис.

48 изображены четыре силы, действ
у
ющие на тело. Силы
прил
ожены в одной точке и лежат в одной плоскости. Их модули и
направления указаны на рисунке. Определите модуль и направл
е
ние
равнодейству
ю
щей этих сил.

6
.

На рис. 49

а



б показано сложение тр
ё
х векторов
,

и

по
правилу многоугольника для двух разных последовательностей слож
е-
ния:

и
.

а) Пользуясь рисунками, уб
е
диться, что от перестановки слагаемых
сумма не изменяется. б) Как выглядело бы сложен
ие этих ве
к
торов в
случае последовательности сложения вект
о
ров
?

Рис.
47

Рис.
48

Рис.
49а

Рис.
49б

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

27

7.

Чтобы сдвинуть с места з
а-
стрявший автомобиль, иногда
польз
у
ются таким при
ё
мом. А
в-
т
омобиль

привязывают длинной
верё
вкой к дереву, по возможн
о-
сти сильно е
ё

натянув. З
атем,
натягивая в
е
р
ё
вку посередине
перпендикулярно е
ё

направл
е-
нию, человек легко сдвигает а
в-
томобиль с места (рис.

50). Почему это возмо
ж
но?

8.

Магнитное поле Земли, характеризуемое вектором магнитной и
н-
дукции

может быть разложено

в л
ю-
бом месте Земли на две комп
о
ненты


г
о-
ризонтальную

и верт
и
кальную

так
что
.

Вблизи Москвы верт
и-
кальная компонента с
о
ставляет примерно
93% от полной индукции:

(
рис.

51). Какой процент от полной и
н-
дукции составляет горизонтальная комп
о-
нента? Под каким углом
i

к горизонту
направлен вектор магнитной индукции вблизи Москвы? (Этот угол
называется магнитным наклонен
и
ем.)

9
.

На гладкой наклонной
поверхности
лежит

бру
сок. Мож
но ли

удержать брусок от соскальз
ы-
вания, прикладывая к нему силу, перпендикуля
р-
ную поверхности наклонной плоскости

(см.

рис.

52
)?

10.

Найти равнодействующую 2018 равных по модулю сил, прил
о-
женных к одной точке и расп
о
ложенных в одной плоскости, есл
и углы
между всеми соседними силами равны между с
о
бой.

Рис. 50

Рис.

51

Рис.

52

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

28

З
адачи

1.

Дано
,
,
. Найти
.

2.

Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного
на вект
о
рах

и
.

3.

Найти угол между векторами

и
,
если
,
,

и
.

4.

Шесть сил приложены
к одной точке
плоскости, так что углы между соседними с
и-
лами равны 60
о

(см.

рис.

53). Найти
модуль
равнодейств
у
ющ
ей

этих сил.

5
.

Найти равнодействующую 2019 равных
по модулю сил, прил
о
женных к одной точке и
ра
с
положенных в одной плоскости, если углы
между
всеми соседними силами равны между
с
о
бой.

6.

Трудно

ли

складывать

параллельные силы?

Две параллельные с
и-
лы

и

при
ложены в точках
А

и
В

тв
ё
рд
о
го тела. Действие этих
двух сил не изменится, если в точках
А

и
В

по

ли
нии
АВ

прило
жить две
рав
ные и проти
воположно напра
в
ленные силы

и
. Сло
жив в
точке
А

силы

и
, найд
ё
м силу
.
Анал
о
гично в точке
В

сло
-
жим силы


и
, полу
чив силу

(рис. 54).

Силы

и


уже не параллель
ные и скла
дываются

по пра
вилу парал
лел
о-
грамма


Из подобия соотв
етствую
щих треугольников на рис.

55 докажите,
что при сложении параллельных сил выполняется соотнош
е
ние

Рис. 53

Рис. 54

Рис. 55

2018
-
2019

уч. год, №1, 9 кл. Физика. Вект
оры в физике (вводное задание)



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

29

7
.

Однородная верёвка подвешена за д
ва конца на разных высотах
(
рис.

27 к Примеру 14). Углы, кот
о
рые составляет вер
ё
вка с вертика
лью
в точках закрепления, равны

и
.

Найти отношение дл
и-
ны части вер
ё
вки, расположенной левее с
а
мой низшей точки вер
ё
вки, к
длине части вер
ё
вки правее этой точки
.

8.

К телу приложены две горизонтальные силы
3

Н и

Н, тангенс угла между которыми равен
tg
=
2 (рис.

5
6
). Определить модуль ра
в
нодейств
у-
ющей этих сил.
Под каким углом

к силе

будет
напра
в
лена равнодействующая? В
оспользоваться
формулой для синуса разн
о
сти двух углов

.

9
*
.

Баржу перемещают с помощью двух буксиров, движущихся со
скоростями 3 м/с и
м/с, образующими угол

(рис. 5
7
), тангенс к
о
торого

равен
tg
 2. Тросы, с
помощью которых букс
и
руют баржу, нерастяжимы
и прикреплены к одной точке баржи.
Под каким
углом

к
скорости


будет
направлена скорость
точки крепления тросов
,

и чем
у равна скорость
этой точки? Воспользоваться формулой для кос
и-
нуса разности двух у
г
лов

.

10
*
.

Сложение сил, не лежащих в одной плоскости
. К вершине
B

треножника
ABCD

(рис. 5
8
) подвешен груз
E
, вес которого
P

 100 Н.
Ножки имеют равн
ую длину, укреплены на горизонтальном полу и о
б-
разуют между собой равные углы. Определите усилие в каждой из н
о-
жек, если известно, что они образуют с вертикалью
BE

у
г
лы 30
о
.















Рис.

5
8

Рис.
56

Рис.
57


Приложенные файлы

  • pdf 9565985
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий