P5_9_17


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Министерство образования и

науки Российской Федерации

Московск
ий

физико
-
техническ
ий

институт

(государственн
ый

университет)

Заочная физико
-
техническая школа












ФИЗИКА


Работа. Энергия


Задание №

5

для
9
-
х классов


(201
7



201
8

учебный год)




















Долгопрудный, 201
8

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

2


Составитель: А.А. Лукьянов, к.

ф.
-
м.

н., доцент
,

ведущий
инженер лаборат
о-
рии по работе с одарёнными детьми МФТИ.


Физика: задание №
5

для
9
-
х классов (201
7

201
8

учебный год), 201
8
,
32
с.


Дата отправления заданий по физике и ма
тематике


0
5

марта


201
8

г.


Настоящее Задание с кратким изложением теории не претендует на то, чт
о-
бы заменить учебник по физике

или обстоятельные учебные п
о
собия

(см. [1

3
]
в списке литературы)
. Изложение теоретических вопросов в нём направлено
лишь на т
о, чтобы нужным образом расставить ударения, отметить тонкие м
е-
ста в курсе, а главное


облегчить Читателю решение предл
а
гаемых задач.

Учащийся должен стараться выполнять все задачи и контрольные вопр
о
сы
в заданиях. Некоторая часть теоретического материал
а, а также часть з
а
дач и
контрольных вопросов являются сложными и потребуют от учащегося
знач
и-
тельных
усилий при изучении и решении. В целях повышения эффективности
работы с материалами они обозначены символом *ª (звёздочка). Мы рек
о-
мендуем приступать к э
тим задачам и контрольным вопросам в последнюю
очередь, разобравшись вначале с более прост
ы
ми.

Составитель:

Лукьянов Андрей Александрович

Подписано
19
.
0
1
.
1
8
. Формат 60

90 1/16.

Бумага типографская. Печать о
ф
сетная. Усл. печ. л. 2,0

Уч.
-
изд. л. 1,72. Тира
ж 6
00. Заказ №

4
-
з.

Московский физико
-
технический институт

(государственный университет)

З
аочная физико
-
техническая школа

ООО Печатный салон Шансª

Институтский пер., г. Долгопрудный, 9, Москов. обл., 141700.

ЗФТШ, тел/факс (495) 408
-
5145


заочное отдел
ение,


тел./факс (498) 744
-
6351


очно
-
заочное отд
е
ление,


тел. (499) 755
-
5580


очное отделение.


E.mail: [email protected]


Наш сайт: www.school.mit.


© МФТИ, ЗФТШ, 201
8


Все права защищены. Воспроизведение уч
ебно
-
методических матер
и
алов и
материалов сайта ЗФТШ в любом виде, полностью или частично, допускается
только с письменного разрешения правообладат
е
лей.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

3

§ 1.
Работа силы

1.1

Работой постоянной силы


составляющей угол

с направлением
прямолинейного движения
, называется скалярная величина
,

равная произвед
е-
нию
модуля
вектора
силы

на модуль вектора
перемещения

и
на кос
и
нус
угла
между
вектор
а
ми

(см.

рис.

1)
:





(1.1)

или в более простых о
бознач
е-
ни
ях


(1.1*)

где
проекция век
-
тора
на
.

В зависим
о
сти от
величины угла
работа силы может быть положительной (
е
с
ли
),

отрицательной (если
)


и равной н
у
лю (если
).

Заметим, что так определё
нная работа есть скалярное произведение вект
о-
ров
силы
и
перемещения








В
системе СИ работа измеряется в джоулях:

По осно
в-
ному свойству скалярного произведения работа может быть представл
е
н
а в
виде

суммы произведений проекций
на оси координат векторов
силы и пер
е-
мещ
е
ния













Реально к телу почти всегда приложен
а не одна, а
несколько сил
(
см.

рис.

1
).
Формула

(1.1)
даёт

работу одной из них (конкретно силы
)
Часто приходи
т-
ся вычислять работу
каждой

силы и работу
всех

сил

(эта величина нам пон
а-
добится)
.
По определению

работой всех сил, приложенных к телу, называе
т
ся
алгебраическая

сумма ра
бот всех
этих
сил (
с
учётом

знаков

ка
ж
дой)
:





(
1.
2)

т.

е. работа определена как
аддитивная

величина
(от а
н
глийского слова
add



добавлять, прибавлять, склад
ы
вать).

Попытка определить работу всех с
ил как скалярное произведение
равн
о-
действующей силы

на перемещение
в некоторых случаях
связано с затрудн
е-
ние
м
:
например,
невозможно определить
равноде
й
ствующую пары

сил (двух
сил равных по величине, но противоположно направленных, приложенны
х

к
разным то
ч
к
ам тела).

Рис
.

1

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

4

1.2.
Если сила не постоянна или/и движение не является прямолине
й-
ным
, то обобщение понятия работы силы таково (
по определению
!). Огран
и-
чи
мся рассмотрением материальной точки

(
не

пр
о
тяжённого тела
).

Сначала

всю траекторию движения (см. рис.

2) мы
сленно

разбивают на очень

большое

число

очень мален
ь-
ких перемещений

,

так что на
пр
о
тяжении
отдел
ь
ного

участка си
ла


может сч
и-
таться постоянной вел
и
чиной

.

Далее на каждом
участке (элементе траектории)

вычисляется
элеме
н
тарная работа

(как от постоянной силы)


а затем сумм
и
руются вклады
от каждого участка.
По определению

работой силы

при
пер
е
мещении тела из
точки 1 в точку 2 называется скалярная величина
, равная
а
л
гебраической

су
м-
ме

учётом

знаков)
работ на всех участках движ
е
ния








(1.3)

Работа
аддитивна

и в этом смысле.

1
.3.
Геометрический смысл р
а
боты

Пусть

сила

приложена к материальной точке и

п
о-
стоянна
, а её

проекция на ось

положительна.
Пу
с
ть
,

кроме того
,

точка движется в положительном
направлении оси

Тогда работа

силы при пер
е-
мещении материальной то
ч
ки из точки
пространства
с координатой

в точк
у

с координатой

ра
в
на


площади заштрихованного прямоугольника на гр
а
фике зависимости силы от
координ
а
ты

(см.

рис.

3
).

Этот наглядный образ во многих случаях обле
г-
чает вычисление работы непостоянной

силы
.

Общий
принцип такой. Пусть график зависимости прое
к
ции
силы на ось

это кривая на
р
ис.

4 и пусть мат
е-
риальная точка, к

которой приложена эта сила, п
е-
ремещается в полож
и
тельном направлении оси


из точки про
странства с координатой

в точку с
координатой

Утвержд
а
ется, что и в этом случае
Рис
.

2

Рис. 3

Рис. 4

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

5

работа

силы равна площади под кривойª (площади соответствующей крив
о-
линейной трапеции;
см. рис.

4).
Мысленно разбиваем криволинейную трап
е-
цию на очень большое число очень узких ве
р
тикальных
полосок ширины

почт
и прямоугольной фо
р
мы. Считая,

что на протяжении
одной полоски сила практически не изменяется, вычисляем сначала элеме
н-
тарную работу

Она

совпадает с площадью соответствующей
п
о
лоски

.

Чтобы

найти работу силы н
а
вс
ё
м интервале от

до

нужно просуммировать
вклады
по всем

(раб
о
та


величина аддитивная!)
:

что совпадает с площадью

криволинейной
тр
а-
пе
ции

(площадь


тоже
величина
аддити
в
ная
!
)
.

N.B.

Наглядный способ нахождения работы силы
(как площади)
требует
осторожности
. На рисунках 5



6 показаны сл
у
чаи, когда работа силы (которая
может иметь любой знак) равна соответствующей площади
с точностью до
знака

(площадь
фигуры положительна).

Нужно
ещё

иметь в виду, что на нек
о-
торых участках работа силы может быть положительной, а на других отриц
а-
тельной.

Это важно при вычи
с
лении суммы вкладов от каждого участка.

1.4.
Работа силы тяжести вблизи поверхн
о
сти Земли

Вблизи пов
ерхности Земли на любое тело действует сила тяж
е
сти
,

где

масса тела,
ускорение свободного падения. Вычислим работу сил
у т
я-
ж
ести для трёх случаев движения материальной точки из то
чки простра
н
ства

1

в точку 2: а) вертикально

верх;

б) вертикально

вниз
;

в) сложным

образом


сн
а-
чала вер
тикально

вверх до точки 3,

а з
а
тем вертикально вниз до точки

2 (рис.

7).

В случае

а)

При этом учтено, что вектор силы тяжести

и вектор перемещения

направл
ены в противоположные стороны, угол между
ними
равен

кос
и-
нус которог
о равен минус единице (отсюда


знак минус в форм
у
ле).

поэтому работа

силы тяжести
при
подъёме

тела
отриц
а
тельна.

Рис. 5

Рис. 6

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

6

В случае

б)

При этом

учтено, что сила

и вектор пер
е-
мещения напра
в
лены в одну сторону,
угол

между ними равен нулю, кос
и-
нус которого равен плюс единице.
Посл
еднюю формулу мы для един
о-
образия записали в в
и
де

но в ней

поэтому работа
силы
тяжести при опускании тела
полож
и-
тельна.

В случае в)


получае
м

такое же значение работы,
как при простом
вертикальном
подъёме
.
У
чтено, что
сумма работ

(см.

N
.B.

выше!)
, поскольку
р
а
бо
та


а





Отсюда легко понять: как бы сложно ни
двигалась материальная точка,
если
начальная и конечная
точки движения
одни и те же, то и работа силы т
я
жести
будет одной и той же

и будет даваться
форму
лой





(1.4)

Это утверждение можно существенно усилить: не только для движения по
вертикали, но
и для движения по произволь
ной трае
к
тории

работа силы
тяжести при перемещении материальной точки из точки
пространства
1 в то
ч-
ку

2
(см.

рис.

8)
даётся

формулой (1.4)
.
Для доказательства
воспользуемся
формул
ами

(1.3)

и


При этом учте
но, что проекции ускорения свободного падения на оси ра
в
ны

.

Д
а
лее:

Рис.
8

Рис. 7

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

7

1.
5
.
Работа силы упругости

Рассмотрим
небольшой

шарик на

пру
жинке, который может
двигаться

вдоль оси
.

В процессе

движения на него действует сила упругости со ст
о-
роны растягивающейся или сжимающейся пруж
и-
ны

,

где
коэффициент
жёстк
о-
сти

пружины,
растяжение пружины
;


к
о
ордината шарика для
недеформированной пр
у-
жин
ы

(считаем шарик матер
и
альной точкой)
. В
ы-
числим работу силы упругости (именно е
ё
, а,
например,
не

внешней силы,

подталкивающей или
тормозящей шарик
) при изменении ра
с
тяжения от

до
.

В данном случае сила
не

постоянна, поэтому нет пр
о
стой формулы

Наглядный геометрический образ работы позволяет
,

однако
,

легко провести е
ё

вычисление. Работа силы упругости ра
в
на (с точн
о-
стью до знака!) пло
щади заштрихованной на рис
.

9

трап
е
ции:


или окончательно



(1.5)

Как и в случае силы тяжести (см. рассуждения п. 1.4),
работа силы упруг
о
сти
зависит только
от
начальног
о и конечного растяжения пружины
, но не
зависит от того, какие промежуточные состояния
прошёл

шарик.
Силы, обл
а-
дающие таким свойством, называются
консерв
а
тивными
.

Разберите
самостоятельно

случай, когда шарик проскакивает точку с к
о-
ординатой

доходит до точки с координатой
,

после чего возвращ
а-
ется в
точку с
координатой
.

Докажите
, что, как и в сл
учае силы тяжести,
работа сил
упругости пружины

и здесь

будет даваться форм
у
лой (1.5).

Не

все

силы консервативны.
Сила трения
не

консервативна
: р
абота силы тр
е-
ния
,
действующей на санки, существенно зависит от пути, по к
ак
ому перемещ
а-
лись

санки. Далеко не одно и то же


пере
везти

груз на санках от одного подъе
з
да

до другого или сделать то же самое
,

но
ещё

протащить его
несколько
раз
в
о
круг

дома,


работа силы трения
в последнем случае будет существенно др
у
гой.

Рис. 9

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

8

Примеры

к §1

Пример
1.1.
Шкаф массой 100 кг передвинули по горизонтальному полу на
2 м. Чему равна рабо
та силы тяжести при т
а
ком перемещении?

Решение
.

Работа силы тяжести в данном случае равна нулю, т.

к. угол
между направлением дейс
твия силы тяжести и перемещение
м

(горизонтал
ь-
ным

направлением
) равен
,

косинус которого равен нулю

(см.

формулу

(1.1) и рис.

1)
.

Пример 1.
2
.
Лифт массой 1 т начинает подниматься с постоянным ускор
е-
нием

1) Чему равна работа силы натяжения троса, с помощью которого подн
и-
маю
т лифт, за первые 4 с движения?

2) Чему равна работа си
лы натяжения тр
о
са

за 4
-
ю секунду движения?

Решение
.
В нашем примере сила натяжения троса и перемещение лифта
направлены в одном направлении (вверх); угол между этими векторами равен
нулю, косинус которого равен единице.
Работу силы
F

натяжения троса
п
о-
это
му
ищем по
простой
формуле
(без косин
у
саª)

Силу
найдём

из 2
-
го закона Ньютона

или в проекциях на
вертикальное направление:

откуда

Работа за первые 4 секунды дви
жения равна


Работу за 4
-
ую секунду можно найти как разность



*
Пример 1.3.

Доску массой

и длиной

вытягивают со

льда
на а
сфальт па
раллельно длине доски.

Коэффициент трения между доской и
асфальтом

Трение доски о
лёд

пренебрежимо мало. Какую работу
совершит сила трения к моменту, когда доска полностью окажется на
асфал
ь-
те? Дорога горизонтальна. Доску вытяги
вают горизонтально направленной
силой
;


Считать, что доска давит на асфальт только той ч
а
стью,
которая находится асфальте.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

9

Решение
.

Пусть доска продвинулась по асфальту на расстояние
.

Сила
трения прило
жена лишь к той части доски, которая уже находится на асфальте
и будет равна






(1)

Здесь у
чтено, что нормальная сила реакции со стороны асфальта на ту
часть
до
ски, которая уже оказалась на нё
м, с
о
ставляет долю
,

равную

от
полной силы реакции
,

причём

для горизонтальной дороги и горизонтал
ь-
ной тянущей силы

С работой силы, линейно
зависящей от координаты (от удлинения), мы
имели дело, когда рассматривали силу, действующую на тело со стороны д
е-
форм
и
рованной пружины. Там модуль силы упругости равнялся
,

где
коэффициент
жёсткости

пружин
ы,
е
ё

удлинение. Абсолютное зн
а-
чение работы силы упругости при удлинении пружины

(из недеформ
и-
рованного состояния
)

давалось формулой




(2)

В нашем случае (1) роль коэффициента
жёсткости

играет величина




(3)

Учтём

ещё
, что работа силы тр
е
ния в данном случае будет отрицательной,
т.

к.

сила трения и перемещение доски во все моменты времени направлены в
пр
о
тивоположные стороны (угол между ними равен
),

так что
.

П
о
этому окончательный ответ таков
:










(*)

По
д
становка чисел
даёт

Пример 1.4.
Всегда ли работа силы трения отрицательна?

Решение
. Нет. Простейший пример


сила трения, действующая на
авт
о-
мобиль, трогающийся с места. Какая сила в этом случае ра
згоняет автом
о-
биль? Сила трения покрышек о полотно дороги. Колеса в точке соприкосн
о-
вения с дорогой стремятся провернуться в сторону, противоположную напра
в-
лению разгона автомобиля (или даже проворачиваются, пробуксовыв
а
ют
)
.
Поэтому сила трения направлена

в ту же сторону, в какую ускоряется автом
о-
биль.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

10

§2. Кинетическая энергия тела.
Т
еорема об изменении

кинетической эне
р
гии

2.1. Определение
.
Кинетической энергией материальной точки (частицы)

массой

движущейся со скоростью


называется неотрицательная
скаля
р-
ная

(никуда не напра
в
ленная)
величина



(2.1)

В некоторых случаях более
удобна другая форма записи кинетической
энергии


через импульс
ча
с
тицы


откуда





(2.2)

2.2
.
Справедлива очень важная

Теорема об изменении кинетической
энергии
: приращение кинетической энергии материально
й точки при перем
е-
щении

из одной точки пространства

в другую

равно алгебраической сумме
работ всех сил, действующих на материальную точку при этом перемещении
:




(2.3)

И
з
последней

формулы
видно
, что кинетическая
энергия измеряется в тех
же ед
и
ницах, что и работа, т.

е. в джоулях.

Теорема (2.3)

есть следствие 2
-
го
закона Ньютона.
Докажем это.
В самом деле, согласно этому закону
для малых
интервалов времени

и, соответственно, малых приращений

скорости ч
а-
стицы

им
е
ем
:








(2.
4
)

где суммирование
ведётся

по всем действующим на частицу

силам
.

Масса ч
а-
стицы считается постоянной: в противном

случае нужно было бы писать

не


а

Умножим обе части уравнения
(2.4)
ск
а
лярно на







20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

11

Здесь учтено, что в скалярном произведении векто
ров безразличен пор
я
док

сомножителей:

и
.

Учтём

ещё
, что произвед
е
ние

даёт

малое (за малое приращение времени
) перемещение матер
и-
альной точки:

При этом отдельные слагаемые в сумме


мо
ж-
но представить в виде

работ отдел
ь
н
ых

сил


при
малом перем
е
щении частицы

Левая

часть

представляет собой приращение кинетической эне
р
гии

(масса частицы
, напомним,

считается постоянной).
В с
а
мом
деле,





(*)

При этом мы пренебрегли слагаемым
.

Разумеет
ся, оба слагаемых
в
сумме

малы, но второе значительно меньше первого
.

Пр
о
ще
всего это понять, если записать
эту сумму
в виде
;

при этом
первое слагаемое в скобке
не

мало, а вт
о
рое мало.

Таким образом,
для
малы
х


(малых участков траектории)
получаем


Так как это соотношение выполняется
последовательно
на

каждом

малом
участке траектории, оно будет верно и
для всей траектории

в форме (2.3).

2.3
.
Кинетической энергией с
истемы
N

материальных точек

(частиц)
называют (по определению) сумму кинетических энергий отдельных частиц
:







(2.1*)

Если все частицы системы обладают одинаковой скоростью

(как это быв
а
ет
,
наприм
ер,

в
твёрдом

теле при его поступательном
(без вращения)
движ
е
нии),
то кинетическая эне
р
гия системы равна


где

есть ма
с
са всей системы (например,
твёрдого

тела).

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

12

Для системы материальных точек также справедлив
а теорема об изм
е
нении
кинетической энергии:






(2.3*)

Заметим, что в формуле (2.3*) стоит сумма работ
всех

сил, а
не только вне
ш-
них
.
Последнее легко понять
.
П
редставим себе два шарика один
а
ковой массы
,

скреплённые

лёгкой

пружинкой. Пусть на эту систему не действуют ник
а-
кие внешние силы и пусть в начальный момент
пружинка не деформирована, а
шарики имели равные по модулю, но противоположно направле
н
ные скорости
и
вдоль пружинки.
В такой системе возникнут колебания.
В н
а
чальный
момент система обладала кинетической энергией

Ясно, что
в какой
-
то момент силы упругости со ст
о
роны пружины (
это


внутренние

силы; пружинка есть
часть
наш
е
й

систем
ы
) обратят скорости шариков в нуль.
Обратится в нуль при этом

и кинетическая энергия системы

Измен
е-
ние кинетической энергии системы равно работе сил упругости пр
у
жины

Примеры

к §

2

Пример 2.
1
. Автомо
биль, движущийся со скоростью 60 км/ч по мокрому
асфальту горизонтальной дор
о
ги, резко тормозит и до полной остановки едет
юзом (колеса не вращаются). Коэффициент трения между покрышками авт
о-
мобиля и дорогой равен 0,4.
Вычислите

тормозной путь автомобиля.
Торм
о-
жение осуществляется
одновременно
передними и задними
колёсами
. Авт
о-
мобиль рассматривать как брусок с равномерно
распределённой

ма
с
сой.

Решение
.
Работа силы тяжести и работа нормальной силы реакции со ст
о-
роны дороги равны нулю, т.

к. обе
эти силы

перп
ендикулярны вектору пер
е-
мещения и соответствующие косинусы в выражениях для работ в обоих случ
а-
ях равны нулю.
Изменение кинетической энергии автомобиля

в нашем сл
у
чае
связано лишь с действием силы трения покрышек
колёс

автомобиля об а
с-
фальт:

В нашем случае

(полная ост
а-
новка автомобиля),

Работа силы тр
е
ния равна
.

В данном случае (при езде юзом) угол
между силой трения и
перемещением равен
,

косинус которого равен
.

Модуль силы тр
е
ния
20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

13

скольжения

(автомобиль движется, как санки)


где

коэ
ф-
фициент трения скольжения,
нормальная сила реакции со
стороны дор
о-
ги
.

В случае горизонтальной дороги без провалов, куда бы мог ухнутьª авт
о-
мобиль, нормальная сила реакции уравновешивает силу т
я
жести:

т.

е. модуль силы
.

В результате имеем

и


откуда после сокращения
на массу автомобиля нах
о
дим


*
Пример 2.
2
. Как измениться результат предыдущей задачи, если торм
о-
жение будет осуществляться только задними
(или только передними)
колёс
а-
ми
?

Решение
. В
этом случае

(считаем, что нагрузка
равномерно распределена на передние и задние колеса). В результате


и

*
Пример 2.
3
. Пуля, летящая со скоростью
,

пробивает неск
олько

од
и-
наковых
досок, расположенных на некотором расстоянии друг от друга. В к
а-
кой по
счёт
у доске застрянет пуля, если

е
ё

скорость после прохождения пе
р-
вой доски равна

Решение
. Считаем, что при движении между досками сопротивление

дв
и-
жению пули со стороны воздуха значительно меньше силы сопр
о
тивления со
стороны древесины, и будем им пренебрегать. Кроме того
,

будем пренебрегать
размерами пули; это позволит считать силу сопротивления со стороны древ
е-
сины

п
остоянной
:
пренебрегаем тем, что пуля в какие
-
то моменты лишь
частично находится в доске, в другие моменты располагается полностью в
доске (если размер пули меньше толщины доски). Пусть
толщина одной
доски, а
суммарный путь, который
пройдёт

пуля во всех досках до моме
н-
та остановки. Запишем тео
рему о приращении кинетической
энергии в двух
случаях
:
1) для прохождения пулей только одной первой доски и 2) для дв
и-
жения пули от начала первой доски до момента,
когда она остановится (з
а-
стрянет) в до
ске (неизвестной нам пока по счё
ту):







(1)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

14

и














(2)

Или с
учётом

усл
о
вия












и














Деля

вт
о
рое уравнение

на

первое,

получаем
,
т
о

е
сть


пуля
пробьёт

3
-
ю
доску, но застрянет
в 4
-
й.

*
Пример 2.
4
. Парашютист массой
80 кг

падает при открытом пара
шюте с
установившейся скоростью

18 км/ч.

Считая, что падение происходило с выс
о-
ты 4 км без начальной скорости и что при раскрыти
и

парашюта скорость
быстро гасится до допустимого значения
18 км/ч,
определите работу с
илы с
о-
противления воздуха на всё
м пути.

Решение
. Ясно, что прямое вычисление работы силы сопротивления во
з-
духа невозможно, т.

к. ничего не сказано о зависимости силы сопротивления
от скорости парашютиста (ни д
о раскрытия парашюта, ни после),

не сказано
также, на какой высоте произошло раскрытие
парашюта. Тем не менее, задача
в той постановке, в какой дана, решается до ко
н
ца.

В

какие формулы может войти искомая работа силы сопротивления?
Например, в формулу для приращения кинетической энергии парашютиста.
Приращение кинетической энергии парашюти
ста

от момента старта до
момента приземления равно приращению его кинетической энергии от моме
н-
та старта до момента, когда скорость ст
а
нет равной установившейся
.

Начиная с этого момента ни скорость, ни кинети
ческая
энергия парашютиста не изменяются. С другой стороны, приращение кинет
и-
ческой энергии равно сумме работ всех сил, приложенных к парашютисту; в
нашем случае


силы тяжести и силы сопротивления со стороны воздуха:












(1)

Заметим,
как

удачно вышло
:

можно искать приращение кинетической энергии
от момента начала падения до момента приземления, а не до момента раскр
ы-
тия парашюта
(
в условии задачи ничего не
сказано о высоте, на которой ра
с-
крывается пар
а
шют
)
. Из формулы (1) получаем


20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

15

Вычисления дают значения:



В итоге

Пример 2.
5
.
(
МФТИ
, из старых задач)
Шарик для игр
ы в настольный те
н-
нис радиусом

и массой

погружён

в воду на глубину
.

Когда шарик отпустили, он выпрыгнул из воды на высоту
.

Сколько энергии переш
ло в теплоту вследствие трения шарика о
воду?

Сопротивлением воздуха пренебречь.

Сч
и
тать, что
количество
энергии,
перешедшей в теплоту, равно работе силы сопротивления воды, взятой с пр
о-
тивоположным знаком:











(1)

Решение
. Вычислить работу силы сопротивления воды прямым методом
затруднительно: как и в случае с парашютистом

из Примера 2.4
, зависимость
силы сопротивления от скорости шарика в воде весьма непростая и не извес
т-
ная нам. Зато нам

известен экспериментальный факт, что шарик выпрыгнул из
воды на высоту
.

Начальная кинетическая энергия шарика

равна
нулю (шарик вначале покоился). В момент достижения шариком высоты

его скорость, а значит, и кинетическая энергия

снова равны нулю. Прир
а-
щение кинетической эне
р
гии т
о
же равно нулю









(2)

С другой стороны, приращение кинетической
энергии шарика равно сумме
работ всех сил, действовавших на шарик.
Пока шарик двигался в воде
, на него
действовали три силы: сила Архимеда, направленная вверх и равная

и две силы, действовавшие вниз
,



сила тяжести

и сила со
противления воды
. Пока шарик подним
а-
ется (а мы рассматриваем только этот этап движения), угол между силой т
я-
жести и перемещением равен
,

косинус которого равен минус единице.
При движении в воздухе

нужно учесть л
ишь действие силы тяжести шарика
:

сила Архимеда в воздухе
(с плотностью
)


примерно в 270 раз меньше силы тяжести.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

16

По теореме об
изменении кинетической энергии:







(3)

и эта величина должна равняться нулю (см.

(2)
)
. Отсюда получаем

и д
а
лее

находим


§

3.
П
отенциальная энергия. З
акон сохра
нения

механ
и
ческой энергии

3.1. Потенциальная энергия тела вблизи поверхности Земл
и

Рассмотрим движение материальной точки под действием силы тяжести
(см.

рис.

10). Считаем,
что

никаких

других

сил на
неё не действует
,

т.

е. нет
сопротивления возд
у-
ха или тянущейª силы. По общей теореме об
изменении

кинетической
энергии имеем


т.

е. для двух произвольных точек траектории
выполняется раве
н
ство




(3.1)

или иначе:

в процессе движения сохраня
ется

п
о
стоянной
величина







Говорят, что имеет место
закон сохранения
механической
энергии



сумма
к
инетической энергии

и потенциальной эне
р
гии






(
3.2
)

остаётся

неизменно
й:






Заметим, что потенциальную энергию мы могли определить и несколько
иначе, добавив к ней произвольную константу
C
; при этом все равенства (
3.1
)
остались бы в силе
, например,

Когда мы
определяем потенциальную энергию формулой

мы полагаем, что на
поверхности Земли (при

)

потенциальная энергия равна нулю. Но п
о-
верхность
Земли
не ровная! Нап
ример, мы бросаем камень с обрыва. Где в
ы-
брать нульª потенциаль
ной энергии


вверху или внизу?

Ответ:

без
различно, где именно. Главное


в процессе решения задачи не
пере
определять этот нульª,

иначе запутаетесь.

Рис. 10

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

17

3.2. Потенциальная энергия упруго деформир
ованной

пружины


а
рика на пружине)

Рассмотрим маленький шарик на пружинке из п.1.5. Пусть

коо
р-
дината шарика

для недеформированной пружины.

При перемещении шарик
а

из точки с координатой

в точку с коор
динатой

силы упругости со ст
о-
роны пружины совершат работу (1.5)


Если
никаких др
у-
гих сил на шарик не действовало
, то по теореме об изменении кинетической


энергии имеем

Последнее ра
венство
сно
ва
можно переписать в форме
закона сохранения механической эне
р
гии






(3.3)

При этом потенциальную энергию упруго деформированной пружины опред
е-
ляют формулой




(3.4)

Как и потенциальная энергия силы тяжести, потенциальная
энергия
упруго
деформи
рованной пружины определена
не однозначно: к ней можно доб
а
вить
произвольную константу, которая не должна
переопределять
ся в ходе ре
ш
е
ния
задачи. Чаще всего
константу

выбирают так, что в недеформированном сост
о-
янии
потенциальная энергия пружины равна

нулю

(см. формулу (3.4)
)
.

В р
е-
альных процессах механическая энергия далеко не всегда сохран
я
ется
:
из
-
за
наличия трения

часть механической

энергии переходит
в тепло

(см.

Пример

2.6)
. Величина
Q

перешедшей в тепло энергии может быть в
ы-
числена как ра
з
ность:



(3.5)

Примеры

к §

3

Пример 3.
1
.

Лёгкий

стержень длиной

с грузом малых размеров на о
д-
ном конце может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей
через другой конец. Сначала груз находится в низшем положении. Какую м
и-
нимальную скорость нужно сообщить грузу, чтобы он совершил полный об
о-
рот? Сопро
тивлением воздуха и трением в оси пр
е
небречь.

Решение
. Задача легко решается по закону сохранения механической эне
р-
гии. Пусть

искомая
минимальная

скорость груза, когда он находится в
низшей точке. Что значит
минимальная

скорость? Эт
о такая скорость, которой
достаточно, чтобы груз достиг высшей точки (высоты

)

и имел бы там
нулевую кинетическую энергию
, т.

е
.

нулевую скорость (остановился бы в
высшей точк
е). Если скорость груза внизу будет хотя бы чуть
-
чуть больше
20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

18

минимальной, он совершит полный оборот. Итак, в случае минимальной ск
о-
рости начальная кинетическая энергия по закону сохранения энергии полн
о-
стью
перейдёт

в потенциальную:

откуда


*
Пример 3.
2
. Груз малых размеров висит на
лёгкой

нерастяжимой
нити

длиной
.

Какую минимальную скорость

надо сообщить грузу, чтобы он
сделал полный оборот в вертикальной плос
кости? Сопротивлением воздуха
пр
е
небречь.

Решение
. Эта задача кажется очень похожей на предыдущую, однако з
а-
мена
лёгкого

стержня на
лёгкую

нерастяжимую нить не так безобидна. Если
только представить, что и для нити справедливо решение из предыдущего
пример
а для
лёгкого

стержня, то мы немедленно
придём

к абсурдному резул
ь-
тату: если в высшей точке скорость груза обратится в нуль, то дальше и очень
резко началось бы его … вертикальное падение вниз. Пока был
жёсткий

сте
р-
жень, он этому препятствовал, вынуждая гр
уз двигаться по окружности. Ни
т
ка
не
жёсткий

стержень,


она мягкая, и препятствовать вертикальному пад
е
нию
груза вниз из высшей точки она не смогла бы. Но таких движений никто не
наблюдал. Чтобы сделать полный оборот, груз в высшей точке должен иметь
кон
ечную (не равную нулю) скорость
.

Какое же требование определяет
м
и-
нимальность

скорости
,

о которой спрошено в усл
овии задачи?

Ответ:
о
б
ращение в ноль натяжения нити в верхней точке

При
этом
центростр
е
мительное ускорение грузу

будет сообщать только сила
тяж
е
сти

Уравнение 2
-
го закона Ньютона при этом для груза в верхней
точки з
а
пишется в виде




(1)

(Если бы нить была натянута, то уравн
е
ние содержало бы слагаемое с силой
натяжения нити

ск
о
рость при этом была бы больше, чем по
уравнению (1), соответственно, бол
ь
ше была бы и начальная скорость гру
за

т.

е. не была бы минимальной.) Уравнение (1) дополним уравнением зак
о-
на с
охранения механической энергии







(2)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

19

Подст
а
новка

(по уравнению (1)) в
уравнение (2)
даёт


откуда

что больше, чем

(см. предыдущий пример для
стерж
ня).

Пример 3.
3
. Шарик массой

висит на пружине
жёсткости


В начал
ь-
ный момент пружина не деформирована (шарик придерживают). Затем шарик
освобождают, и он начинает опускаться.

1) На какую максимальную длину растянется пруж
и
на?

*
2) Какую максимальную скорость будет иметь шарик в процессе опуск
а-
ния?

Решение
. Зде
сь мы имеем дело сразу
с двумя потенциальными энергиями



потенциальной энергией

шарика в поле тяжести вблизи поверхности
Зе
м
ли и энергией деформированной пружины

(потенциальной энергией
шар
и
ка на пружин
кеª). В процессе движения выполняется закон сохранения
эне
р
гии
: сумма кинетической энергии и
двух потенциальных энергий

остаётся

в проце
с
се движения неизменной.

1) В начальном и конечном положениях скорост
и

шарика равн
ы

нулю, п
о-
этому равны нулю кинетически
е энергии шарика в обоих положениях. Шарик
опустится

вниз
, при этом уменьшится его потенциальная энергия в поле тяж
е-
сти Земли. Одновременно растянется пружина, поэтому увеличится энергия
е
ё

упругой деформации
. Пусть

искомая макс
имальная высота, на кот
о
ру
ю
опустится шарик
(длина, на которую растянется пружина). По закону сохран
е-
ния энергии

(на сколько одна энергия уменьшится, на столько
другая увеличится). Отсюда сразу пол
у
чаем

*
2) П
о мере опускания шарика, его скорость сначала возраста
ет

от нул
е
вой
до максимальной

а затем убыва
ет
,

и

при максимальном растяжении
пружины скорость шарика снова обращается в нуль
.
Пока шарик опу
с
тился не
очень сильно


мала деформац
ия пружины



мала и сила упругости, тормоз
я-
щая шарик. Пока она меньше силы тяжести, скорость шарика
растёт
. При н
е-
котором удлинении пружины

эти две силы сравняются друг с другом
;

при
этом ускорение шарика обратится в нуль:





(1)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

20

Удл
и
нение пружины в этом положении равно












(Заметим, что

из
предыду
щего пункта.)
Этому удлинению и соотве
т-
ствует максимум скорости шарика. При дальнейшем опускании шарика (дал
ь-
нейшем растяжении пружины) модуль силы упругости станет больше силы
тяжести,


и
начнётся

замедление шарика
. Максимальную скорость шарика
найдём

из

закона сохранения
энергии:









(2)

Отсчёт

высоты в потенциальной энергии в поле тяжести Земли
ведём

от выс
о-
ты, на которой

так что в этой точке потенциальная энергия в поле
тя
жести равна нулю. Однако в этой точке есть кинетическая энергия
шарика
и
энергия упругой деформации пружины (см. правую часть в уравнении (2)). В
исходном положении пружина не деформирована
,

и шарик имеет равную н
у-
лю скорость
;

з
ато есть потенциальная энерг
ия шарика
.

Подставим в (2)
зн
а
чение
h


, отсюда получаем
, и окончател
ь
но
.

Пример 3.4.

На гладком горизонтал
ь
ном полу лежит доска
массой

а на ней


брусок массой

К
о-
эффициент трения между бруском и д
о-
с
кой

В начальный момент бр
у-
сок и доска покоятся относительно пола.
К бруску прикладывают горизонтал
ь
ную

силу

Определить количество тепла
Q
, которое выделится за время

движения бруска и доски всле
д
ствие трения между ними. Найти также
КПД силы
F
, тянущей грузы, считая полезной работу, затраченную на разг
он
бруска

(рис.

11)
.

Решение
. Предположим, что сила
F

достаточно велика, так что возникнет
проскальзывание бруска относительно до
с
ки.

З
а
пишем уравнения движения бруска и доски и решим их:


Рис.
11

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

21

Ускорение бруска, как видим, оказалось больш
е ускорения доски, поэтому
скольж
е
ние между ними, действительно, будет происходить, что оправдывает
формулу для силы трения: это будет именно сила трения
скольж
е
ния,

и она
будет равна
. На самом деле будет две с
и
лы трения


одна со
с
тороны доски, тормозящая брусок,
; другая,



со стороны бруска,
тянущая доску. По 3
-
му закону Ньютона

что учтено в уравн
е-
ниях (1
-
2) разными знаками при

в двух ура
в
нениях.

Найдём скорости бруска и доски в момент времени
t
 1 с,
приращения их
кинетических энергий
, а также пройд
ё
н
н
ый за это время бруском путь, и раб
о-
ту силы
F

за время
t
 1 с. П
ри нулевых начальных скоростях бруска и доски:







Раб
о
та силы
F

за время

равна

Количество тепла
найдём

из условия, что работа внешней си
лы
F

пойдёт

на
увеличение кинетической энергии и бруска, и доски, а также на выделение
тепла
Q

в местах их контакта во время движения бруска по до
с
ке:

откуда находим
Q

 13,5 Дж


10,5 Дж  3 Дж.

Наконец,
найдём


(т.е. 33%).

Пример
3.5
. На пути тележки массой
m
, скользяще
й

по гладкому горизо
н-
тальному

столу, находится

нез
а-
креплённая

горка высотой

и
массой

(рис.

12).
При какой
минимальной скорости

т
е-
лежка сможет преодолеть горку?
Считать, что тел
е
жка

движется, не отрываясь от горки. Тележка по го
р
ке, а
также горка по столу скользят без трения.

Решение
. Минимальной скорости соответствует случай, когда тележка
въедет на вершину горк
и (поднимется на максимальную высоту

но не
проедет дальше, а остановится относ
и
тельно горки: скорост
и

тележки и горки
относительно стола в этот момент сравняются друг с другом (и они пр
о
должат
движение относительно стола как еди
ное целое). Обозначим эту скорость бу
к-
вой
.

По закону сохранения и
м
пульса



(1)

Рис. 12

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

22

а по закону сохранения энергии



(2)

Решение системы уравнений (1


2)
даёт


*
Пример
3.6
. Пусть в предыду
щем

примере

.

Какую скорость

приобретёт

горка, когда тележка с
неё

съ
е
дет?

Решение
.
Кажется, что задача ре
шается просто
:

из двух законов сохран
е-
ния

импульса и энергии.
Пусть

скорость тележки в момент, когда она
съедет с горки. Запишем законы сохранения импул
ь
са и энергии:




(1)






(2)

(
Такие же

уравнения мы написали бы и
в
случа
е

упругого столкновения

лоб в
лоб двух шаров
,
когда один из них до столкновения покои
л
ся
.

З
адачи
о зак
о-
нах сохранения при

с
толкновениях
будут
рассмотрены в другом Зад
а
нии.
)

Перепишем систему уравнений
(1



2)
в в
и
де








Учитывая формулу для разности квадратов

и деля



на

п
олучаем



(
3)

Подставляя соотношение (3) в первое из уравнений системы

(лине
й-
ное!), находим


откуда получаем для окончательной скорости тележки




(4)

и после подстановки в (3)


формулу для скорости горки в момент, когда с
неё

съедет тележка,



(5)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

23

В формулах смущают, как минимум, две особенности. Во
-
первых, знак
скорости тележ
ки зависит от того, каков знак разности масс
.

Этого не
м
о
жет быть, т.

к. при условии, что

тележка, переехав горку, должна
двигат
ь
ся в ту же сторону, что и в самом начале (до наезда на горку). Во
-
вторы
х, по смыслу, если уж тележка переехала горку, то она должна в конце
иметь ск
о
рость больше, чем горка, т.

е. должно выполняться неравенство




(6)

Проверим

его

выполнимость. Согласн
о формул
ам

(4



5) имеем


откуда
,

но это


абсурд: отрицательное чи
с
ло
не может быть бол
ь
ше положительного.

В чем же мы делаем ошибку
? Ответ: производя деление

на
, мы
молчаливо предполагали
, что

(иначе делили бы на ноль!).
В
ы
вод
:
наше предположение (молчаливое!) не верно
.
Правильно
:

(тележка п
о-
сле того как переедет горку
,

будет иметь ту же скорость, что и до
наезда на
горку), а
го
р
ка остановится
:

в силу (1)

при


Пример 3.7
. Пуля массой

попадает в
покоящийся
деревянный шар
массой

и застревает в
его центре
. Най
дите

долю кинетической эне
р-
гии п
у
ли, перешедшей в тепло.

Решение
.
Пусть
скорость пули до того, как она врезалась в шар,

скорость шара вместе с пулей после того, как в н
ё
м застря
ла

пуля. (Скорости
ш
а
ра и пу
ли
теперь одинаковы!)
По закону сохранения импульса имеем








(1)

откуда находим








Количество энергии, перешедшей в те
п
ло,
найдём

по формуле (3.5)
:



О
т
сюда искомая доля кинетической энергии, перешедшей в тепло,

п
о
чти вся энергия пули!)
.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

24

§

4.
М
ощность силы и мощность механизмов

Для того чтобы характеризовать скорость совершения работы, вводится
понятие мощности. Точнее, вводится даже несколько близких и св
я
занных
друг с другом понятий, ключевое слово в которых

мощ
ность
ª
.

Средняя мощность силы

есть отношение работы

к промежутку вр
е-
мени


в течение которого она совершена
:






(4.1)

К
ак
и
средняя скорость д
вижения, средняя мощность есть довольно гр
у
бая
характеристика быстроты совершения работы. За достаточно большой пром
е-
жуток времени интенсивность совершения работы могла
то возрастать, то
убывать. Для
учёта

этого вводится понятие
мгновенной мощности
силы


ли
просто мощности) в момент времени
,

которая определена как предел отн
о-
шения (4.1) при

(когда интервал рассматриваемых
времён

вблизи м
о-
мента времени

ст
я
гивается к нулю)
:



(4.2)

Единица мощности в СИ есть
ватт
:


До сих пор говорилось
о мощности силы
. В быту мы часто слышим о
мо
щ-
ности
механизмов



насоса,
автомобиля,
электровоза
. И это
ещё

не всё. Иногда
говорят о
потреб
ляемой мощности
, в других случаях


о
полезной мощности

(
причём

и о средних их значениях, и о мгновенных

мо
щ
ностях
)
.
Усугубляет
сложности то, что в

конкретном механизме н
е вс
е
гда легко указать
(показать в
виде
явной
стрелки)
силу, которая что
-
то дв
и
жет.

По
требляемой мощностью

называют количество
энергии
, которое пол
у-
чает
в единицу времени
машина для
своей
работы (автомобиль
или аэросани


от сгорания бензина в двигателе, электровоз



от

электрической с
е
ти)
:





(4.3)

(при

говорят о мгновенной потребляемой мощности).
Н
е вся
потре
б-
лённая

энергия

тратится именно на то, что нужно

(говорят


на с
о-
вершение
полезной работы
ª)
.
Часть
е
ё

(иногда


значительная)

рас
ходуется

впустую
:

например,
из
-
за трения
в различных частях
сложного механизма а
в-
томобиля или аэросаней происходит разогрев деталей машины

(к чему н
и
кто
не стремился)
.
Пусть
нам надо, чт
о
бы
аэро
сани

п
еревезли какой
-
то груз.
Д
ля
этого
(
даже без всяких
подъё
мов
)

нужно преодолеть силу трения о снег. Эне
р-
гия, которая будет и
с
трачена на
разгон саней и
преодоление силы трения о
снег

(для поддержания конечной скорости)
, считается истраченной с пол
ь
зой.
С
ил
а

тяги двигателя аэросаней совершит
полезную работу

.

П
о
лезной
мощностью

механизма называют о
т
ношение


(4.4)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

25

Полезная работа всегда меньше
потреблённой

механизмом
энергии
:

Дол
ю

потреблённой

энергии, пошедш
ую

на совершение
полезной работы
,

называ
ют

коэффициентом полезного дейс
т
вия




(4.5)

Величина
КПД

всегда
меньше
ста процентов. У бенз
и
новых двигателей

КПД

порядка

у дизельных


у ракетных двигателей на жи
д
ком
топливе он близок к
.

У простых механизмов (блок, рычаг)
КПД

м
о
жет
быть бл
и
зок к

Примеры к §

4

Пример 4.1
.
Лифт массой 1 т начинает подниматься
с помощью т
роса
с
постоянным ускорением

(см. Пример
1.2
).
Най
дите:

1) среднюю мощность силы натяжения троса и

2) мощность, развиваемую е
ю

в конце 4
-
ой секунды.

Решение
. 1)
Средняя мощность


2) Мгновенную мощность в
конце 4
-
ой секунды вычислим по формуле


Обратим внимание: мгновенная мощность в конце 4
-
й секунды не равна
работе силы за 4
-
ую секунду (см. Пример
1.2
)
.

Пример 4.
2
.
Какую среднюю
полезную
мощность развивает при разбеге
самолёт

массо
й

если длина разбега

взлётная

скорость

С
ил
у

сопротивления движению
считать
постоянн
ой

и равной

Решение
.







(1)

(
учтено
ещё
, что

средняя скорость для равноускоренного движения равна
среднему арифметическому начальной и конечной скоростей
,
причём
,
).

Силу тяги
найдём

и
з уравнения 2
-
го закона Ньютона







(2)

Для постоянных сил постоянным будет и ускорение, поэтому ускорение может
быть на
йдено из кинематической формулы








(3)

(учтено, что
).

В результате получаем

отк
у
да


20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

26

Пример 4.
3
.
Аэросани массой 2

т
движутся в гору с постоянной

ск
о-
р
о
стью
(рис.

13)
.
Развиваемая

аэр
о-
с
а
нями
полезная
мощность


30 кВт,

коэффи
циент
трения

0,1,

угол
наклона горыª

1) Определит
е

скорость
аэросаней.

2)

Какую
полезную
мощность

должны
развивать сани, чтобы
двигаться с той же горы вниз

с той
же скоростью
?

Решение
.

1)
При движении
саней
с
постоянной скорост
ью

сумма пр
о-
екций сил вдоль склона горы равна
нулю:

(знаками
учтено направл
е
ние сил; см.

р
ис
.

13
)
,

или







(1)

Поскольку движения саней
перпендикуля
р
но

склон
у

нет (и соотве
тственно
,

проекция
ускорени
я

на направление
поперёк

склона горы равно нулю), то
сумма
проекций сил на это направление тоже равна нулю:






(2)

откуда











По

формулам

в (1)
получаем выражение для
сил
ы

тяги аэрос
а
ней






(3)

Подставляя
это
его

в
формулу

для мощн
о
сти









(4)

находим скорость движения аэросаней






(5)

Числовое зн
а
чение


2) При движении саней вниз также с
посто
янной скоростью







(6)

вместо равенства (3) будем иметь:






(7)

(см.

рис.

13
), откуда








(7‱)

Далее, по форм
у
ле для мощности



Рис. 13

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

27

*
Пример 4.
4
.
Локомотив, работая с
одинаковой
полезной
мощностью,
может вести

поезд массой

2000 т

вверх

по уклону
0,005 рад

со скоростью
30
км/ч,
а
по уклону

0,0025 рад

со скоростью

40 км/ч.
Определит
е

си
лу
сопротивления, считая е
ё

в обоих случаях одинаковой
.


Решение
.

В
обоих случаях локомотив движется с постоянной скорость
ю
,
т
ак что

ускорения и в том, и в другом случае равны нулю.
Уравнения 2
-
го з
а-
кона Ньютона запишу
т
ся в виде:






(1)

и









(2)

откуда находим выражения для сил тяги локомотив
а
в обоих случаях:





(
1‱
)

и








(
2‱
)

В силу р
а
венства мощностей имеем
:


откуда находим си
лу сопроти
в
ления


В
ажное з
амечание
. Спросим себя: Что представляет собой
сила тяги

в
нашем случае?ª Ясно, что у локомотива нет реактивного двигателя.
Сила. к
о-
торая заставляет его

двигаться
,

есть

сила трения
колёс

о

рельсы

(см. Пр
и-
ме
р

1.4). Если имеет место проскальзывание
колёс
, то это


сила трения
скольжения
, для которой справедлива формула








(*)

где

нормальная сила реакции со стороны ж.

д. п
утей,

коэфф
и-
циент трения скольжения
.
Если проскал
ь
зывания нет

(чистое качение)
, то мы
имеем дело с
силой трения покоя
, формулу для которой написать труднее.

А
что же тогда такое
сила сопротивления
, о которой
идёт

речь в задаче

и кот
о
рая
препятствует движению локомотива
?
(Заметим, что сила тяги (трения) и сила
сопротивления входят в уравнения (1



2) с
разными знаками
!)
В
силу сопр
о-
тивления

включают силу трения качения и силу сопротивления воздуха
. П
о-
следняя зависит от скорости

движущ
егося тела
. Если она мала,
остаё
т
ся

лишь
сила трения качения. В этом случае силу сопротивления можно записать в в
и-
де
,

очень похожем на (*):







(**)

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

28

где

так называемый

коэ
ф
фициент сопротивл
е
ния
.

В нашем примере в
случае двух разных углов наклона мы имели, строго говоря, разные силы
.

Однако вследствие малости углов зн
а
чения косинусов обоих
углов оказались близки друг др
у
гу и близки к единице:


поэт
о
му
.

Как следствие,

Пример 4.
5
.
Автомобиль массой
2000 кг
трогается с места и едет

равн
о-
ускорено

в гору,
угол
наклон
а

которой

равен
0,02
радиана
. Пройдя расстоя
ние
100 м,

он развивает скорость
32,4 км/ч.
Коэффициент сопротив
ления


0,05.

Определит
е

среднюю
полезную
мощность, развиваемую двигателем
автомобил
я.

Решение
.
О коэффициенте сопротивления см.
В
ажное з
амечание

к пред
ы-
дущему примеру
. В нашем примере ясно ск
азано о
равноускоре
н
ном

движении
(а не равномерном, как в Примере 4.4). Поэтому запишем уравнение 2
-
го зак
о-
на Ньютона:








(1)

или иначе







Н
аходя отсюда силу тяги


подставляя е
ё

в формулу для средней мощн
о
сти

и принимая во внимание формулы равноускоренного движ
е
ния


и

п
олуч
а
ем

9
,8 кВт.

*
Пример 4.
6
. Два автомобиля одинаковой массы одновременно трогаю
т
ся
с места и движутся
равноускорено
. Во сколько раз средняя
полезная
мо
щ
ность
одного автомобиля больше, чем у другого, если за одно и то же время

один
из
них
достигает вдвое большей с
корости, чем другой? Силой сопротивления
дв
и
жению автомобилей пренебречь.

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

29

Решение
.
Запишем формулы для средних мощностей обоих автомоб
и
лей:






(1)

и








(2)

О
т
сюда







(
3)

Отношение сил тяги
найдём

из 2
-
го закона
Н
ьютона для обоих автомоб
и
лей:











(
4
)




и








(
5
)


откуда








(6)


Подставляя (6) в (3), окончател
ь
но получаем


*
Пример 4.
7.

(
МФТИ
, из старых задач)
Легков
ой автомобиль массой

равномерно движется по наклонному участку шоссе, подним
а
ясь
на

на каждый

пути. На сколько в этом случае расход бенз
и-
на больше, чем при движении с той ж
е скоростью по горизонтальному участку
шоссе. Теплотворная способность бензина равна
.

Коэфф
и-
циент полезного действия двигателя равен

(старый автомобиль)
.

Считать, что сила сопротивления движению автом
обиля


это сила сопроти
в-
ления со стороны воздуха (силой трения качения пренебре
чь
).

Примечание
. Расход бензина принято относить к п
у
ти


Решение
.

Пусть

и

м
ассы бензина, ко
торые тратит автомобиль на
100 км пути в двух рассмотренных случаях;
искомая разность масс.
К
о
личества энергии, которые он получает в обоих случаях
,

равны

и
.

Лишь часть этой

энергии
идёт

на совершение полезной работы по преодол
е-
нию силы сопротивления и на преодоление скатывающей силыª (в первом
случае). Полезные работы, которые совершит автомобиль в этих двух случ
а
ях,
равны

и

Г
оворя о полезной работе, совершё
нно
й

автомобилем, имеют в виду
раб
о-
ту, которую совершает сила тяги автомобиля
.
Поскольку считается, что а
в-
томобиль движется равномерно (без ускорения), то при движении по
горизо
н-
тальной дороге сила тяги просто равна силе соп
ротивления
,

а в сл
у
чае

движения в гору сила тяги к ней нужно
ещё

добавить скатывающую с
и
луª

Две силы сопр
о
тивления равны друг
20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

30

другу, поскольку скорости автом
о
биля в обоих случаях одинаковы:

В результате получ
а
ем:






(1)

и













(2)

Вычитая второе уравнение из первого, получа
ем


откуда

и


Заметим, что счастливым образомª взаимно уничтожились слагаемые, с
о-
держащие неизвестную силу сопр
о
тивления воздуха.

ЛИТЕРАТУРА

1.

Козел С.М.
Физика. 10



11 классы: пособие для учащихся и
абитуриентов. В 2 ч. Ч.
1
. / С.М. Козел



М.: Мнемозина, 2010.


400 с.

2.

Павленко Ю.Г.
Начала физики: Учебник / Ю.Г. Павленко.


2
-
е изд.


М.: Изд
-
во Экзаменª, 2005.


864 с.

3.

Черноуцан А.И.

ФИЗИКА для поступающих в вузы
.

Краткий курс
физики
/
Под ред. А.А. Леоновича.


М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009.


224 с.

Контрольные вопросы

(лёгкие задачи)

1.

Камень вращают с помощью вер
ё
вки постоянной длины. Чему равна р
а-
бота силы натяжения вер
ё
вки за время половины по
л
ного оборота камня
?

2.

Положительную или отрицательную работу совершают, 1) растягивая
пружину? 2
) сжимая е
ё
?

3.
На земле лежит вер
ё
вка длиной
l

 1 м и массой
m

 1 кг. Вер
ё
вку ме
д-
ленно (почти не разгоняя) поднимают за один из концов до момента отрыва
другого конца от зе
м
ли. Какую работу совершают при
подъ
ё
ме?

4.

Недеформированную пружину растянули
на 1 см,
совершив при этом р
а
боту 10 Дж. Какую минимальную
работу нужно совершить дополнительно, чтобы растянуть
е
ё

ещ
ё

на 1 см?

5.
В каком случае автомобиль должен затратить бол
ь-
ше энергии


при ра
з
гоне

с места до скорости 30 км/ч или

при увеличении скоро
сти

от 40 км/ч до


50

км/ч? Сопр
о-
тивлением воздуха пренебречь.

6.

Определите полезную мощность трамвая (в кВт) к
концу 5
-
й секунды после начала движения, если он развил
к этому моменту скорость 18 км/ч. Масса трамвая 10 т.
Сопротивлением дв
и
жению пренебреч
ь.

Рис. 14

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

31

7.

Альпинист массой
m

 50 кг медленно поднимает самого себя, как пок
а-
зано на рис.14. Один конец л
ё
гкой вер
ё
вки привязан к поясу альпиниста; в
е-
р
ё
вка перекинута через блок, закрепл
ё
нный к скале; другой конец вер
ё
вки
альпинист медленно перебирает руками.

Проскальзывания между руками ал
ь-
пиниста и вер
ё
в
кой нет.

Какую минимальную силу должен приклад
ы
вать к
вер
ё
вке альпинист, чтобы осущ
е
ствить подъ
ё
м самого себя? Какую работу он
совершит, подняв себя на в
ы
соту
h

 5 м?
g

 10 м/с
2
.

Задачи

1.

Однородный стерже
нь длиной 2 м, двигаясь вдоль своей длины по шер
о-
ховатой горизонтальной поверхности, начинает пересекать границу, за кот
о-
рой поверхность становится гладкой. Скорость стержня в этот м
о
мент равна
1,6 м/с. К
а
кое расстояние проедет стержень от этого момента до

остановки,
если коэффициент трения о шероховатую п
о
верхность 0,2?

2.

(*) Брусок массой 0,5 кг лежит на наклонной плоскости, образующей с
горизо
н
том угол

(
 0,6). Брусок соедин
ё
н с вершиной наклонной
плоскости

недеформир
о
ванной пружиной ж
ё
сткостью 64 Н/м. Какую скорость

надо сообщить

бруску вверх вдоль наклонной плоскости, чтобы он верну
л-
ся и остановился в начальной точке? К
о
эффициент
трения между
бруском

и
плоскостью 0
,8
.


3.

На гладком горизонтальном полу лежит доска массой

а
на
ней
брусок

массой

(см.

рис.

15)
.

Коэффициент трения между
бруском

и
доской

В начальный момент
бр
у-
сок

и
до
ска покоятся относительно пола.

К
бруску

при
кладывают

горизонтальн
ую

сил
у


Определить количество
тепла
Q
, которое выделится за время

движения
бруска

и доски вследствие трения между

ними
. Найти также
КПД

силы

F
,

считая

полезной работу, затраченную на разгон
бруска
.

4.

Альпинист массой
m

 50 кг начинает поднимать самого себя, как пок
а-
зано на рис.14 к контрольному вопросу 7. Один конец л
ё
г
кой вер
ё
вк
и привязан
к поясу альпиниста;
вер
ё
вка перек
и
нута через

блок, закрепл
ё
нный к скале;
другой конец вер
ё
в
ки альпинист перебирает руками. Проскал
ь
зывания между
руками альпиниста и вер
ёвкой нет.

Альпинист прикладыв
а
ет к вер
ё
вке силу
.

Какую
работу он совершит

при

подъ
ё
ме себя на выс
о
ту
h

= 5
м?
g

=
10

м/с
2
.

5
*
.

Груз массой
m

 1,6 кг подвешен к потолку на упр
у
гом резиновом
шнуре ж
ё
сткостью
k

 250 Н/м. Грузу ре
з
ким толчком сообщают начальную
скорость
 1 м/с, направленную вертикально вверх. На какую высоту (о
т-
считывая от

начальной точки) поднимется груз?

Рис.
15

20
17
-
201
8

уч. год, №5, 9 кл. Физика. Работа. Энергия



2018, ЗФТШ МФТИ, Лукьянов Андрей Александрович

32

6.

Груз массой
M

поднимают с помощью подвижного
блока массой
m

и р
а
диуса
R

(см.

рис.

16), прикладывая к
правому концу вер
ё
вки (точке

)

силу
F
.
Верёвка
нераст
я-
жима, масса одного метра длины
вер
ё
вки
. Начал
ь
ная
длина части
вер
ё
вки
правее блока
l
. Блок медленно подняли
на высоту
h
. На сколько при этом увеличилась потенциал
ь-
ная энергия
вер
ё
вки
? Чему равен КПД блока с
уч
ё
том
к
о-
нечн
о
сти массы блока и массы
вер
ё
вки
?

7.

(
МФТИ
, 2
00
0
)

Небольшая шайба на нити длиной
l

может вращаться в
о
круг неподвижной оси
О
, скользя по
наклонной плоскости с углом наклона

(см.

рис.

17).
Шайбу поместили в точку
А

наклонной плоскости, соотве
т-
ств
у
ющую горизонтальному положению н
ити, и отпустили.
Определить скорость шайбы в точке
В



самой низшей то
ч-
ке траектории. Коэффициент трения скольжения шайбы о
наклонную плоскость
. Нить всегда параллельна
наклонной плоскости и не
задевает
е
ё
.

8
*
.

На пути тележки масс
ой
m
, скользяще
й

по гладкому горизонтальному
столу

со скоростью


находится
незакреплённая
г
орка высотой
H

и массой
M

(см.

рис.

18)
Тележка по горке, а также горка по столу скользят без трения.
Скорость тележки

недостаточна
, чтобы преодолеть горку.

На какую ма
к-
симальную высоту
h

поднимется т
е
лежка?
Как
ие

скорост
и


и

u

приобрет
у
т
тележка и
горка, когда тележка съедет
с горки,
не добравшись до вершины
?

9.

Буксир тянет баржу со ск
оростью 9 км/ч; при этом натяжение буксиру
е-
мого троса составляет 140 кН, а полезная мощность двигателя 400 кВт. Какой
будет скорость (в км/ч) буксира, если он будет плыть без баржи при той же
полезной мощности двигателя
?

Сила сопротивления пропорциональна
квадр
а-
ту скор
о
сти движения.


Рис. 17

Рис. 16

Рис.
18


Приложенные файлы

  • pdf 9533899
    Размер файла: 938 kB Загрузок: 2

Добавить комментарий