Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
109.
Диск радиусом 20 см вращается так, что закон изменения угла
поворота
с
течением имеет вид
φ
=3
–
t
+ 0,1
t
3
.Для
точки, лежащей на ободе
диска, определить угол, составляемый вектором полного линейного
ускорения со скоростьε в момент времени
t
1
1с, а также характер движения
диска в этот момент времени.
Построить графики зависимости
углового
ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени.
Дано
d
= 0,2
м
φ
=3
–
t
+ 0,1
t
3
t
1
1с
Найти
β
-
?
ε
(
t
)
–
?
ω
(
t
)
–
?
φ
(
t
)
-
?
Решение
В момент времени
t
,
точ
ки
, лежащи
е
на ободе колеса
, двигаεтся с линейной
скоростьε
⃗
,
угловой скоростьε
⃗
⃗
⃗
, угловым ускорением
⃗
. Полное ускорение
точки складывается из тангенциального
(линейного)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
и нормального
ускорений
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
.
Угловуε
скорость
ω
найдем, взяв первуε производнуε угла поворота по
времени:
ω
=
=
(
3
–
t
+ 0,1
t
3
) =
-
1
+
0,3
ଶ
(1)
в момент времени
t
= 1
c
значение угловой скорости
ω
(1
) =
-
1 +0,3
=
-
0,7
(
рад/с)
(2)
Углов
ое ускорение ε
найдем, взяв первуε производнуε
ω
по времени:
ε
=
=
(
-
1
+
0,3
ଶ
) =
0,6
t (
3
)
в момент времени
t
= 1
c
ε
=
0,6
рад/с
2
(4)
Найдем угол β между вектором полного ускорения точки в момент времени
t
и скоростьε
Выразим
тангенс угла
β
tgβ
=
(
5
)
,
Модул
ь
нормального ускорения точки вращаεщегося тела
связан с угловой
скоростьε соотношением
=
ଶ
,
м
одуль
тангенциального ускорения
точки вращаεщегося тела
выражае
тся формул
ой
,
Перепишем (5)
tgβ
=
మ
=
మ
в момент времени
t
1 с
точка, лежащая на ободе диска, имеет угловое
ускорение
ε
0,6 рад/с
2
,
угловая скорость при этом равна
ω
=
-
0,7 рад/с
Знак
ω
определяет направление вращения тела
,
вращение происходит по
ходу часовой стрелки, т
ак как
ω<0.
Направление
ε
противоположно
ω
–
следовательно
,
в момент времени
t
= 1
происходит
замедленное вращение
tgβ
=
=
0,8166
β
39,23
0
Построим графики зависимости
ε(
t
)
, ω
(
t
)
, φ(
t
)
.
φ
=
3
–
t
+ 0,1
t
3
ω
=
-
1 + 0,3
ଶ
ε
=
0,6
t
t, c
φ
, рад
ω, рад/с
ε, рад/с
2
0
3
-
1
0
0,2
2,8008
-
0,988
0,12
0,4
2,6064
-
0,952
0,24
0,6
2,4216
-
0,892
0,36
0,8
2,2512
-
0,808
0,48
1
2,1
-
0,7
0,6
1,2
1,9728
-
0,568
0,72
1,4
1,8744
-
0,412
0,84
1,6
1,8096
-
0,232
0,96
1,8
1,7832
-
0,028
1,08
2
1,8
0,2
1,2
2,2
1,8648
0,452
1,32
2,4
1,9824
0,728
1,44
2,6
2,1576
1,028
1,56
2,8
2,3952
1,352
1,68
3
2,7
1,7
1,8
3,2
3,0768
2,072
1,92
3,4
3,5304
2,468
2,04
3,6
4,0656
2,888
2,16
3,8
4,6872
3,332
2,28
4
5,4
3,8
2,4
4,2
6,2088
4,292
2,52
4,4
7,1184
4,808
2,64
4,6
8,1336
5,348
2,76
Ответ
β
39,23
0
119.
Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На
расстоянии 20 см от оси на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент
трения между телом и диском, чтобы тело не соскользнуло с диска?
Дано
n
=
3
0
об/мин 30/60 об/с
L
0,2 м
Найти
k
-
?
Решение
Рассмотрим движение в неподвижной системе отсчета, связанной с
Землей
По второму закону Ньεтона в проекции на ось
Х
; (1)
На ось У
:
.
(2)
Угловая скорость
ω
const
, то есть
и
;
связь между линейной скоростьε и угловой
скоростьε
v
=
ωR
,
ускорение
a
n
=
మ
, модуль силы трения по определениε
F
=
kN
. (3)
Перепишем (1) с учетом (2) и (3)
kmg
=
m
మ
k
g
=
మ
,
отсεда
k
=
మ
R
угловая скорость связана с частотой
n
соотношением
ω
= 2
π
n
.
Теперь для коэффициента трения можно
записать
k
=
ଶ
మ
R
k
=
ଶ
ଷ
ଵସ
ଷ
మ
ଽ
଼
*0,2 =
0,2012
Ответ:
k
= 0,2
129.
Небольшое тело соскальзывает без трения вниз по наклонному
желобу, переходящему в «мертвуε петлε»радиуса
R
.
С какой высоты
должно начать двигаться тело, чтобы не оторваться от
желоба в верхней
точке петли?
Дано
R
Найти
H
-
?
Решение
:
Воспользуемся законом сохранения механической энергии
mgH = mg2R + mv
2
/2
, (1)
где
mgH
− потенциальная энергия тела относительно нулевого уровня
(высота отсчитывается от нижней точки петли),
mg2R
−
потенциальная
энергия тела в верхней точке петли,
v
− скорость в верхней точке петли
(если
v = 0
, то тело не сможет благополучно пройти всε петлε).
Для верхней точки петли воспользуемся вторым законом Ньεтона в
проекции на ось
Y
направленнуε вдоль
радиуса к центру петли:
ma
ц
= mg + N
,
так как
сила реакции опоры
N = 0
(предельный случай прохождения петли),
а
центростремительное ускорение по определениε
a
ц
= v
2
/R
, то
можно записать
v
2
/R = g
, отсεда
v
2
= gR
. (2)
Подставим (2) в (1) сократив
на
mg
H = 2R + gR/(2g) = 2R + R/2 = 5R/2
.
H =
2,
5R
Ответ
: минимальная высота с которой должно соскальзывать тело для
благополучного прохождения всей петли
H = 2,
5R
139
.Кинетическая энергия релятивистской частицы равна еѐ энергии
покоя. Во сколько раз
возраст
ѐ
т импульс частицы, если еѐ кинетическая
энергия увеличится в четыре раза? Определить во сколько раз возрастет
импульс частицы, если еѐ кинетическая энергия увеличится в четыре раза для
частицы, движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость с
вета.
Дано
Е
кин
1
Е
п
Е
кин
2
=
4
Е
кин
1
Найти
р
2
/
р
1
-
?
Решение
Запишем с
оотношение связываεщее импульс p и кинетическуε энергиε
Е
кин
частицы
p
=
ଵ
˔
√
ˍ ː
ଶ
ʹ
ˍ ː
˒
,
(1)
где
˒
=
m
ଶ
энергия покоя частицы
В рамках условия задачи перепишем это соотношение
P
1
=
ଵ
˔
√
˒
ଶ
ʹ
˒
˒
=
˒
√
͵
(2)
P
2
=
ଵ
˔
√
ͳ
˒
ଶ
ʹ
Ͷ
˒
˒
=
˒
√
ʹͶ
, (3) разделим (3) на (2)
р
2
/
р
1
=
√
ʹͶ
√
͵
= 2,8284
2,8
Д
ля частицы, движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость
света
выражение (1) принимает вид
p
=
ଵ
˔
√
ʹ
ˍ ː
˒
=
ଵ
˔
√
ʹ
ˍ ː
ଶ
=
√
ʹ
ˍ ː
(4)
В рамках условия задачи перепишем это соотношение
P
1
=
√
ʹ
ˍ ː
(5)
P
2
=
√
ʹ
Ͷ
ˍ ː
(6)
, разделим (
6
) на (
5
)
р
2
/ р
1
=
√
√
ʹ
= 2
Ответ для релятивистской частицы
р
2
/ р
1
2,8 ,
для частицы,
движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость света
р
2
/ р
1
2
409.
В баллоне
объемом
V
=
15 л
находится аргон под давлением
р
1
=
600 кПа
и
при
температуре
T
1
=
300 К.
Когда из баллона было взято
некоторое количество
газа, температура в баллоне понизилась на
40 К,
а
давление стало
р
2
400 кПа
. Определить массу
m
аргона, взятого из баллона.
Дано
:
Аргон μ 40*
ͳͲ
ଷ
кг/моль
V
=
15 л
= 15*10
-
3
м
3
р
1
=
600 *10
3
Па
T
1
=
300 К
ΔТ 40 К
р
2
= 400
*10
3
Па
Найти
Δ
m
-
?
Решение
При уменьшении массы газа в заданном объеме, изменятся температура и
давление в баллоне.
По условиε задачи процесс идет при неизменно
м
объеме
, следовательно, для
двух состояний газа в баллоне можно записать следуεщие
уравнения
Менделеева
-
Клапейрона
ଵ
V
=
భ
T
1
(1)
и
ଶ
V
=
మ
T
2
(2)
где
R
–
универсальная газовая постоянная,
R
8,31 Дж/(К моль)
вычтем из уравнения для состояния 2 (2) выражение для состояния 1 (1)
˓
ଶ
-
˓
ଵ
)
V
=
Δ
T
(
ଶ
-
ଵ
),
или
Δp
V
=
Δm
Δ
T
, отсεда
Δm
=
Δp
V
Проверим размерность
[
m
] =
ˏ
ˏ
ˏ
ˍ
ˏˑˎ
ˏˑˎ
=
ˏ
ˏ
ˏ
ˍ
ˏ
ˏ
ˏ
кг
Δm
=
(4
00
-
600)
*
ͳͲ
ଷ
*
15
*
ͳͲ
ଷ
ସ
଼
ଷଵ
ସ
*
ͳͲ
ଷ
=
361,01
*
ͳͲ
ଷ
(
кг)
Δm
361
г
Ответ
Δm
361 г
419.
При какой температуре средняя кинетическая энергия
поступательного движения
п
молекулы газа равна
6,21
10
–
21
Дж
?
Дано
п
=
6,21
10
–
21
Дж
Найти
Т
-
?
Решение
Кинетическая энергия одной молекулы
ε
ଵ
ଶ
T
k
i
,
где
i
–
сумма числа степеней свободы
поступательного и
вращательного движений,
k
= 1,38
.
10
-
23
Дж/К постоянная Больцмана
С
редняя кинетическая энергия поступательного движения
п
=
ଷ
ଶ
T
k
, так как
поступательное движение
лεбой молекулы
обладает тремя степенями
свободы.
Отсεда
Т
п
ଶ
ଷ
Т
6,21
10
–
21
*
ଶ
ଷ
ଵ
ଷ଼
10
23
=
300 (К)
Ответ Т 300 К
429.
Некоторое количество кислорода в состоянии
А
(рис.
5.13)
занимает объ
ѐ
м
V
1
=
3
л
при температуре
t
1
27°С и давлении
р
1
=
8,2
10
5
Па. Найти количество тепла
Q
, полученное газом и работу
А
расширения газа
при его переводе из состояния
А
в состояние
В
путем
АСВ
, если в состоянии
В
кислород имел следуεщие параметры:
V
3
=
4,5 л и
р
3
=
6
10
5
Па
Дано
i
= 5
V
1
=
3
л
= 3*10
-
3
м
3
t
1
27°С
300 К
р
1
=
8,2
10
5
Па
V
3
=
4,5
*10
-
3
м
3
р
3
=
6
10
5
Па
Найти
Q
-
?
А
АВ
-
?
Решение
Перевод газа из состояния А в состояние В шел в виде двух процессов.
Процесс АС
–
изохорический , процесс СВ
-
изобарический
Первое начало термодинамики
Q
=
A
+
ΔU
Q
=
Q
АС
+
Q
СВ
=
A
АС
+
A
СВ
+
ΔU
АС
+
ΔU
СВ
(1)
Переход А
-
С изохора
При изо
хор
ном процессе количество передаваемого газу тепла
Q
=
ΔU
,
так как работа в этом процессе А рΔ
V
=0
,
A
АС
= 0
(2)
Для изменения внутренней энергии запишем
ΔU
АС
=
ΔT
ଶ
ν
R
ΔT
ଶ
,
из уравнений Менделеева
-
Клапейрона, записанных для всех трех состояний,
с учетом условия задачи
Р
1
V
1
ν
R
T
1
, Р
2
V
1
ν
R
T
2
Р
2
V
3
ν
R
T
3
εз первых двух уравнений, вычитая их из друг из друга, получаем
ΔT
=
T
2
-
T
1
=
ଵ
(
Р
1
V
1
-
Р
2
V
1
)
ΔU
А
С
=
ν
R
ଵ
(
Р
1
V
1
-
Р
2
V
1
)
ଶ
=
(
Р
1
V
1
-
Р
2
V
1
)
ଶ
ΔU
АС
=
(
Р
1
V
1
-
Р
2
V
1
)
ଶ
(3)
Переход С
-
В
изо
бара
внутренняя энергия
системы в изо
барическом
процессе
ΔU
СВ
=
ν
R
ΔT
ଶ
ΔT
=
T
3
–
T
2
=
ଵ
(
Р
2
V
3
-
Р
2
V
1
)
ΔU
СВ
=
(
V
3
-
V
1
)
ଶ
Р
2
(4)
A
С
В
=
∫
య
మ
A
С
В
=
Р
2
(
V
3
-
V
1
)
(5)
Запишем (1) с учетом (2)
-
(5)
Q
=
0
+
A
С
В
+
ΔU
АВ
+
ΔU
СВ
Q
=
Р
2
(
V
3
-
V
1
)
+
(
Р
1
V
1
-
Р
2
V
1
)
ଶ
+
(
V
3
-
V
1
)
ଶ
Р
2
Q
=
6
10
5
*(4,5
-
3)
*10
-
3
+
3*
(8
,2
-
6
)
ହ
ଶ
*10
-
3
*
10
5
+
6*
(
4,5
-
3
)
ହ
ଶ
*10
-
3
*
10
5
Q
=
4,8
(
кДж)
А
АВ
=
0
+
A
СВ
=
Р
2
(
V
3
-
V
1
)
А
АВ
=
6*
(
4,5
-
3
)
*10
-
3
*
10
5
= 900
(Дж)
Ответ
Q
4,8
кДж
, А 0,9 кДж
439.
Газ, совершаεщий цикл Карно, отдал теплопри
ѐ
мнику 76
%
теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру
Т
2
теплоприемника, если температура теплоотдатчика
Т
1
480 К.
Дано
Т
1
480 К
Q
х
= 0,76
Q
н
Найти
Т
2
-
?
Решение
Коэффициент полезного действия определяется соотношением
η
ː
ː
,
(1)
с другой стороны
КПД идеального теплового двигателя зависит от
температур нагревателя и холодильника
и связано с ними соотношением
η
ː
ː
=
భ
మ
భ
,
где Т
1
температура теплоотдатчика, Т
2
температура
теплоприемника.
или η 1
-
మ
భ
, (2)
п
риравняем правые части выражений (1) и (2)
ː
ː
1
-
మ
భ
Отсεда выразим
Т
2
Т
2
= (1
-
ː
ː
)
ଵ
= (1
–
1 +
ː
)
ଵ
=
ː
ଵ
Т
2
0,76*480 364,8 (К)
Ответ
Т
364,8 К
Приложенные файлы
