reshenia_109-139_i_409-439


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
109.

Диск радиусом 20 см вращается так, что закон изменения угла
поворота

с

течением имеет вид

φ

=3

t

+ 0,1
t
3
.Для

точки, лежащей на ободе
диска, определить угол, составляемый вектором полного линейного
ускорения со скоростьε в момент времени
t
1

1с, а также характер движения
диска в этот момент времени.

Построить графики зависимости

углового
ускорения, угловой скорости и угла поворота от времени.

Дано

d

= 0,2
м

φ

=3


t

+ 0,1
t
3

t
1



Найти

β

-

?

ε
(
t
)


?

ω
(
t
)


?

φ

(
t
)
-

?

Решение


В момент времени
t
,

точ
ки
, лежащи
е

на ободе колеса
, двигаεтся с линейной
скоростьε


,
угловой скоростьε





, угловым ускорением


. Полное ускорение
точки складывается из тангенциального

(линейного)









и нормального
ускорений









.





Угловуε
скорость

ω

найдем, взяв первуε производнуε угла поворота по
времени:


ω

=



=


(
3


t

+ 0,1
t
3
) =
-

1

+

0,3



(1)


в момент времени
t

= 1

c

значение угловой скорости

ω
(1
) =
-
1 +0,3

=
-

0,7

(
рад/с)

(2)


Углов
ое ускорение ε

найдем, взяв первуε производнуε
ω

по времени:


ε

=



=


(
-

1

+

0,3



) =

0,6
t (
3
)


в момент времени
t

= 1

c

ε

=
0,6

рад/с
2

(4)





Найдем угол β между вектором полного ускорения точки в момент времени
t

и скоростьε

Выразим

тангенс угла

β


tgβ

=





(
5
)
,

Модул
ь
нормального ускорения точки вращаεщегося тела
связан с угловой
скоростьε соотношением



=



,

м
одуль

тангенциального ускорения

точки вращаεщегося тела
выражае
тся формул
ой








,




Перепишем (5)

tgβ

=







=







в момент времени
t

1 с

точка, лежащая на ободе диска, имеет угловое
ускорение
ε

0,6 рад/с
2

,
угловая скорость при этом равна

ω

=
-

0,7 рад/с

Знак

ω

определяет направление вращения тела
,

вращение происходит по
ходу часовой стрелки, т
ак как

ω<0.

Направление

ε


противоположно

ω



следовательно
,

в момент времени
t

= 1
происходит
замедленное вращение



tgβ

=











=
0,8166



β



39,23
0


Построим графики зависимости
ε(
t
)

, ω

(
t
)
, φ(
t
)
.



φ

=
3


t

+ 0,1
t
3



ω

=
-

1 + 0,3






ε

=
0,6
t



t, c

φ
, рад

ω, рад/с

ε, рад/с
2

0

3

-
1

0

0,2

2,8008

-
0,988

0,12

0,4

2,6064

-
0,952

0,24

0,6

2,4216

-
0,892

0,36

0,8

2,2512

-
0,808

0,48

1

2,1

-
0,7

0,6

1,2

1,9728

-
0,568

0,72

1,4

1,8744

-
0,412

0,84

1,6

1,8096

-
0,232

0,96

1,8

1,7832

-
0,028

1,08

2

1,8

0,2

1,2

2,2

1,8648

0,452

1,32

2,4

1,9824

0,728

1,44

2,6

2,1576

1,028

1,56

2,8

2,3952

1,352

1,68

3

2,7

1,7

1,8

3,2

3,0768

2,072

1,92

3,4

3,5304

2,468

2,04

3,6

4,0656

2,888

2,16

3,8

4,6872

3,332

2,28

4

5,4

3,8

2,4

4,2

6,2088

4,292

2,52

4,4

7,1184

4,808

2,64

4,6

8,1336

5,348

2,76





Ответ
β



39,23
0


119.

Диск вращается вокруг вертикальной оси, делая 30 об/мин. На
расстоянии 20 см от оси на диске лежит тело. Каков должен быть коэффициент
трения между телом и диском, чтобы тело не соскользнуло с диска?

Дано

n

=
3
0
об/мин 30/60 об/с

L

0,2 м

Найти

k

-

?

Решение

Рассмотрим движение в неподвижной системе отсчета, связанной с
Землей



По второму закону Ньεтона в проекции на ось

Х


; (1)

На ось У
:


.

(2)

Угловая скорость
ω
const
, то есть


и

;

связь между линейной скоростьε и угловой
скоростьε

v

=
ωR
,
ускорение
a
n

=



, модуль силы трения по определениε
F

=
kN
. (3)

Перепишем (1) с учетом (2) и (3)

kmg

=
m





k

g

=





,
отсεда


k

=






R

угловая скорость связана с частотой
n

соотношением


ω

= 2
π

n
.

Теперь для коэффициента трения можно
записать

k

=








R


k

=





ଵସ

ଷ଴

଺଴






*0,2 =
0,2012

Ответ:

k

= 0,2

129.
Небольшое тело соскальзывает без трения вниз по наклонному
желобу, переходящему в «мертвуε петлε»радиуса
R
.

С какой высоты
должно начать двигаться тело, чтобы не оторваться от

желоба в верхней
точке петли?

Дано

R

Найти

H

-
?

Решение
:

Воспользуемся законом сохранения механической энергии

mgH = mg2R + mv
2
/2
, (1)


где

mgH

− потенциальная энергия тела относительно нулевого уровня
(высота отсчитывается от нижней точки петли),

mg2R


потенциальная
энергия тела в верхней точке петли,

v

− скорость в верхней точке петли
(если

v = 0
, то тело не сможет благополучно пройти всε петлε).






Для верхней точки петли воспользуемся вторым законом Ньεтона в
проекции на ось

Y

направленнуε вдоль
радиуса к центру петли:


ma
ц

= mg + N
,


так как

сила реакции опоры
N = 0

(предельный случай прохождения петли),
а

центростремительное ускорение по определениε

a
ц

= v
2
/R
, то

можно записать

v
2
/R = g

, отсεда


v
2

= gR
. (2)





Подставим (2) в (1) сократив
на

mg


H = 2R + gR/(2g) = 2R + R/2 = 5R/2
.


H =
2,
5R




Ответ
: минимальная высота с которой должно соскальзывать тело для
благополучного прохождения всей петли
H = 2,
5R

139
.Кинетическая энергия релятивистской частицы равна еѐ энергии
покоя. Во сколько раз
возраст
ѐ
т импульс частицы, если еѐ кинетическая
энергия увеличится в четыре раза? Определить во сколько раз возрастет
импульс частицы, если еѐ кинетическая энергия увеличится в четыре раза для
частицы, движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость с
вета.

Дано

Е
кин
1

Е
п

Е
кин
2

=

4

Е
кин
1

Найти

р
2

/

р
1

-

?

Решение

Запишем с
оотношение связываεщее импульс p и кинетическуε энергиε
Е
кин

частицы

p

=


˔



ˍ ː


ʹ


ˍ ː

˒
,

(1)
где

˒

=
m



энергия покоя частицы

В рамках условия задачи перепишем это соотношение

P
1

=


˔



˒


ʹ


˒

˒

=

˒

͵

(2)

P
2

=


˔


ͳ

˒


ʹ

Ͷ


˒

˒

=

˒

ʹͶ
, (3) разделим (3) на (2)

р
2

/

р
1

=

ʹͶ


͵

= 2,8284


2,8

Д
ля частицы, движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость
света

выражение (1) принимает вид

p

=


˔


ʹ


ˍ ː

˒

=


˔


ʹ


ˍ ː





=

ʹ


ˍ ː



(4)

В рамках условия задачи перепишем это соотношение

P
1

=



ʹ


ˍ ː



(5)

P
2

=



ʹ

Ͷ


ˍ ː



(6)
, разделим (
6
) на (
5
)

р
2

/ р
1

=




ʹ

= 2


Ответ для релятивистской частицы

р
2

/ р
1



2,8 ,
для частицы,
движущейся со скоростьε, много меньшей, чем скорость света
р
2

/ р
1



2



409.
В баллоне

объемом

V
=
15 л

находится аргон под давлением

р
1

=
600 кПа

и

при

температуре
T
1
=
300 К.

Когда из баллона было взято
некоторое количество

газа, температура в баллоне понизилась на
40 К,

а
давление стало
р
2
400 кПа
. Определить массу
m

аргона, взятого из баллона.

Дано
:

Аргон μ 40*
ͳͲ



кг/моль

V
=
15 л

= 15*10
-
3

м
3

р
1

=
600 *10
3

Па

T
1
=
300 К

ΔТ 40 К

р
2

= 400
*10
3

Па

Найти

Δ
m

-

?

Решение

При уменьшении массы газа в заданном объеме, изменятся температура и
давление в баллоне.

По условиε задачи процесс идет при неизменно
м

объеме
, следовательно, для
двух состояний газа в баллоне можно записать следуεщие
уравнения
Менделеева
-
Клапейрона





V

=





T
1

(1)

и



V

=





T
2


(2)

где
R



универсальная газовая постоянная,
R

8,31 Дж/(К моль)

вычтем из уравнения для состояния 2 (2) выражение для состояния 1 (1)



˓


-

˓


)
V

=



Δ
T

(



-




),

или


Δp

V

=
Δm




Δ
T

, отсεда


Δm

=
Δp

V








Проверим размерность

[
m
] =


ˏ

ˏ

ˏ

ˍ



ˏˑˎ
ˏˑˎ





=



ˏ

ˏ

ˏ

ˍ



ˏ

ˏ

ˏ


кг


Δm

=
(4
00

-

600)
*
ͳͲ

*
15
*
ͳͲ



ସ଴



ଷଵ



ସ଴


*
ͳͲ



=
361,01
*
ͳͲ



(
кг)

Δm



361

г


Ответ
Δm





361 г


419.

При какой температуре средняя кинетическая энергия
поступательного движения


п


молекулы газа равна
6,21

10

21

Дж
?

Дано



п


=

6,21

10

21

Дж

Найти

Т
-
?

Решение

Кинетическая энергия одной молекулы

ε



T

k

i
,
где

i



сумма числа степеней свободы
поступательного и
вращательного движений,


k

= 1,38
.
10
-
23

Дж/К постоянная Больцмана

С
редняя кинетическая энергия поступательного движения


п


=



T

k
, так как
поступательное движение
лεбой молекулы
обладает тремя степенями
свободы.

Отсεда

Т


п







Т
6,21

10

21

*





ଷ଼
10
23

=
300 (К)


Ответ Т 300 К

429.

Некоторое количество кислорода в состоянии
А
(рис.

5.13)
занимает объ
ѐ
м
V
1
=
3

л

при температуре
t
1

27°С и давлении

р
1

=
8,2

10
5
Па. Найти количество тепла

Q
, полученное газом и работу

А

расширения газа
при его переводе из состояния
А

в состояние
В

путем
АСВ
, если в состоянии
В

кислород имел следуεщие параметры:
V
3
=
4,5 л и
р
3

=
6

10
5
Па


Дано

i

= 5

V
1
=
3

л
= 3*10
-
3

м
3


t
1

27°С
300 К

р
1

=
8,2

10
5


Па

V
3
=
4,5
*10
-
3

м
3

р
3

=
6

10
5

Па

Найти

Q
-

?

А
АВ

-

?

Решение

Перевод газа из состояния А в состояние В шел в виде двух процессов.
Процесс АС


изохорический , процесс СВ
-

изобарический


Первое начало термодинамики
Q

=
A

+
ΔU


Q

=
Q
АС

+

Q
СВ

=
A
АС

+

A
СВ

+

ΔU

АС

+

ΔU
СВ

(1)


Переход А
-
С изохора


При изо
хор
ном процессе количество передаваемого газу тепла

Q

=
ΔU
,
так как работа в этом процессе А рΔ
V

=0
,
A
АС

= 0

(2)



Для изменения внутренней энергии запишем


ΔU

АС

=


ΔT



ν
R

ΔT



,

из уравнений Менделеева
-

Клапейрона, записанных для всех трех состояний,
с учетом условия задачи


Р
1

V
1

ν
R

T
1

, Р
2

V
1

ν
R

T
2

Р
2

V
3

ν
R

T
3



εз первых двух уравнений, вычитая их из друг из друга, получаем


ΔT

=
T
2

-

T
1
=






(
Р
1

V
1

-

Р
2

V
1

)


ΔU

А
С

=
ν
R







(
Р
1

V
1

-

Р
2

V
1

)




=


(
Р
1

V
1

-

Р
2

V
1

)







ΔU

АС

=
(
Р
1

V
1

-

Р
2

V
1

)







(3)



Переход С
-
В

изо
бара


внутренняя энергия

системы в изо
барическом

процессе

ΔU

СВ

=

ν
R

ΔT




ΔT

=
T
3



T
2

=






(
Р
2

V
3

-

Р
2

V
1
)

ΔU

СВ

=

(
V
3

-

V
1
)




Р
2
(4)

A
С
В


=








A
С
В

=

Р
2

(
V
3

-

V
1
)


(5)

Запишем (1) с учетом (2)
-
(5)

Q

=
0

+

A
С
В

+

ΔU

АВ

+

ΔU

СВ


Q

=

Р
2

(
V
3

-

V
1
)



+

(
Р
1

V
1

-

Р
2

V
1

)





+

(
V
3

-

V
1
)




Р
2


Q

=

6

10
5

*(4,5
-

3)
*10
-
3
+
3*
(8
,2
-

6

)




*10
-
3

*
10
5

+
6*
(
4,5

-

3
)




*10
-
3

*
10
5



Q

=
4,8

(
кДж)

А
АВ

=
0

+

A
СВ

=
Р
2

(
V
3

-

V
1
)



А
АВ

=

6*
(
4,5

-

3
)

*10
-
3

*
10
5


= 900
(Дж)



Ответ
Q



4,8

кДж
, А 0,9 кДж



439.
Газ, совершаεщий цикл Карно, отдал теплопри
ѐ
мнику 76

%
теплоты, полученной от теплоотдатчика. Определить температуру
Т
2

теплоприемника, если температура теплоотдатчика
Т
1
480 К.

Дано


Т
1
480 К

Q
х
= 0,76

Q
н


Найти


Т
2

-

?


Решение

Коэффициент полезного действия определяется соотношением

η

ː





ː
,
(1)

с другой стороны
КПД идеального теплового двигателя зависит от
температур нагревателя и холодильника

и связано с ними соотношением

η

ː





ː

=









,
где Т
1

температура теплоотдатчика, Т
2

температура
теплоприемника.

или η 1
-






, (2)

п
риравняем правые части выражений (1) и (2)


ː





ː


1
-







Отсεда выразим
Т
2


Т
2

= (1
-


ː





ː

)




= (1


1 +




ː

)




=




ː






Т
2

0,76*480 364,8 (К)


Ответ

Т



364,8 К


Приложенные файлы

  • pdf 9491054
    Размер файла: 774 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий