180924 Профильная математика — Пробный вариант №4 с решением


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

1

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



Единый государственный экзамен

по МАТЕМАТИКЕ

Профильный уровень

Инструкция по выполнению работы

Экзаменационная работа состоит из д
вух частей, включающих в себя
19

заданий
. Часть 1
содержит 8

заданий базового уровня сложности с
кра
тким ответом. Часть 2 содержит 4 задания
с кратким ответом
повышенного уровня

сложности и 7

заданий

с развернутым ответом

повышенно
го и высокого уровней сложности.

На выполнение экзаменационной работы по ма
тематике отводится 3
часа 55 минут (235 минут).

Ответы к заданиям 1

12

записываются по приведённому ниже
образцу

в виде целого числа или конечной десятичной дроби. Числа
запишите в поля ответов в тексте работы, а затем перенесите в бланк
ответов № 1.



При выполнении заданий 13

19

требуется записать полное решение и
ответ в бланке ответов № 2.

Все бланки ЕГЭ заполняются яркими чёрными чернилами.
Допускается использование гелевой

или

капиллярной
ручки
.

При выполнении заданий можно по
льзоваться черновиком. Записи в
черновике не учитываются при оценивании работы.
Записи в черновике, а
также в тексте контрольных измерительных материалов не
учитываются при оценивании работы.

Баллы, полученные Вами за выполненные задания, суммируются.
Пост
арайтесь выполнить как можно больше заданий и набрать наибольшее
количество баллов.

После завершения работы проверьте, что ответ на каждое задание в
бланках ответов №1 и №2 запи
с
ан под правильным номером.

Желаем успеха!


Справочные материалы

sin
2
ߙ
+
cos
2
ߙ
=
1

sin
2
ߙ
=
2
sin
ߙ

cos
ߙ

cos
2
ߙ
=
cos
2
ߙ

sin
2
ߙ

sin
(
ߙ
+
ߚ
)
=
sin
ߙ

cos
ߚ
+
cos
ߙ

sin
ߚ

cos
(
ߙ
+
ߚ
)
=
cos
ߙ

cos
ߚ

sin
ߙ

sin
ߚ

Ответом к заданиям
1

12

является целое число или конечная
десятичная дробь. Запишите число в поле ответа в тексте работы,
затем перенесите его в БЛАНК ОТВЕТОВ №
1

справа от номера
соответствующего задания, начиная с первой клеточки. Каждую
цифру, знак «минус» и запятую пишите в
отдельной клеточке в
соответствии с приведёнными в бланке образцами. Единицы
измерений писать не нужно.


Теплоход рассчитан на 600 пассажиров и 20 членов команды. Каждая
спасательная шлюпка может вместить 70 человек. Какое наименьшее число
шлюпок
должно быть на теплоходе, чтобы в случае необходимости в них
можно было разместить всех пассажиров и всех членов команды?


Ответ: ___________________________.


На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На
оси абсцисс отклады
вается время в минутах, прошедшее с момента запуска
двигателя, на оси ординат


температура двигателя в градусах Цельсия.
Определите по графику, на сколько градусов нагреется двигатель с первой
по восьмую минуту разговора.




Ответ: ______________________
_____.


1

2

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

2

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



Найдите площадь треугольника, изображённого на клетчатой бумаге с
размером клетки 1 см
×

1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных
сантиметрах.




Ответ: ___________________________.


В случайном эксперименте симметричную монету бросают
четырежды.
Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.


Ответ: ___________________________.



Найдите корень уравнения

(
6
ݔ

13
)
2
=
(
6
ݔ

11
)
2
Ǥ


Ответ: ___________________________.


В треугольнике
ܣܤܥ
угол
ܥ
равен 90
°
,
ܣܤ
=
10
,
ܤ
ܥ
=

19
. Найдите
cos
ܣ
.


Ответ: ___________________________.

На рисунке изображён график
ݕ
=


`
(
ݔ
)


производной функции

(
ݔ
)
. На
оси абсцисс отмечены девять точек:
ݔ
1
,
ݔ
2
,
ݔ
3
,
ݔ
4
,
ݔ
5
,
ݔ
6
,
ݔ
7
,
ݔ
8
,
ݔ
9
. Сколько
из этих точек лежит на промежутках убывания функции

(
ݔ
)
?




Ответ: ___________________________.


В кубе
ܣܤܥܦ
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
ܦ
1

найдите угол между прямыми
ܤ
ܣ
1

и
ܦ
1
ܥ
1
. Ответ
дайте в градусах.




Ответ: ___________________________.


3

4

5

6

7

8

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

3

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



Найдите значение выражения



12


75



12
Ǥ


Ответ: ___________________________.


Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была
получена зависимость температуры (в К) от времени работы:


ܶ
(

)
=
ܶ
0
+
ܾ�
+
ܽ

2
ǡ


где



время (в мин.),
ܶ
0
=
680

К,
ܽ
=

16
К
мин
2
,
ܾ
=
224

К/мин
. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше
1400 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.
Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно
отключить прибор. Ответ дайте в

минутах.


Ответ: ___________________________.


От пристани А к пристани
B
, расстояние между которыми равно 153 км,
отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 8 часов
после этого следом за ним со скоростью на 8 км
/
ч большей отправился

второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт
B
оба теплохода
прибыли одновременно. Ответ дайте в км
/
ч.


Ответ: ___________________________.


Найдите наименьшее значение функции

ݕ
=
69
cos
ݔ
+
71
ݔ
+
48

на

отрезке

[
0
Ǣ
3

2
]
Ǥ


Ответ:
___________________________.


Не забудьте перенести все ответы в бланк ответов №
1

в
соответствии с инструкцией по выполнению работы.


Часть 2


Для записи решений и ответов на задания
13

19

используйте БЛАНК
ОТВЕТОВ №
2
. Запишите сначала номер
выполняемого задания (
13,
14

и т. д.), а затем полное обоснованное решение и ответ. Ответы
записывайте чётко и разборчиво.


а) Решите уравнение


1
81

cos

=
9
2
sin
2

Ǥ

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку



2

Ǣ


2

Ǥ


Сечением прямоугольного параллелепипеда
ܣܤܥܦ
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
ܦ
1

плоскостью
ߙ
,
содержащей прямую
ܤ
ܦ
1

и параллельной прямой
ܣܥ
, является ромб.


а) Докажите, что грань
ܣܤܥܦ


квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями
ߙ

и
ܤܥ
ܥ
1
, если
ܣ
ܣ
1
=
10
,
ܣܤ
=
12
.


Решите неравенство

13

5

3

9


12

3

+
27

0
ǡ
5
Ǥ


В трапеции
ܣܤܥܦ

точка
ܧ


середина основания
ܣܦ
, точка



середина
боковой стороны
ܣܤ
. Отрезки
ܥ
ܧ

и
ܦ


пересекаются в точке
ܱ
.


а) Докажите, что площади четырёхугольника
ܣ
�ܱܧ

и треугольника
ܥ
ܱ
ܦ

равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь
четырёхугольника
ܣ
�ܱܧ
, если
ܤܥ
=
3
,
ܣܦ
=
4
.







9

10

11

12

13

14

15

16

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

4

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Усл
овия его возврата таковы:




каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом
предыдущего года;



с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;



в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль п
редыдущего года.


Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита,
если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?


Найдите все значения
ܽ
, при каждом из которых система неравенств

{
2
ܽ

ݔ
ǡ
6
ݔ
>
ݔ
2
+
ܽ
2
ǡ
ݔ
+
ܽ

6

имеет хотя бы одно решение на отрезке

4
Ǣ
5

.


На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных),
каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое
написанных чисел равнялось 7. Вместо каждого из чисел на доске написали
число, в два раза меньшее первоначального. Числа, кот
орые после этого
оказались меньше 1, с доски стёрли.


а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся
на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться
больше 12, но меньше 13?

в) Най
дите наибольшее возможное значение среднего арифметического
чисел, которые остались на доске.



























СОСТАВИТЕЛЬ ВАРИАНТА
:

ФИО:

Е
вгений Пифагор

Предмет:

Математика

Стаж:

7

лет репетиторской деятельности

Регалии:

Основатель проекта Школа Пифагора


Аккаунт ВК:

https://vk.com/eugene10

Сайт и доп.
информация:

https://vk.com/shkolapifagora

https://
youtube
.com/
ШколаПифагора


О проекте «Пробный ЕГЭ каждую неделю»

Данный ким составлен командой всероссийского волонтёрского проекта
«ЕГЭ 100 баллов»
https://vk.com/ege100ballov

и безвозмездно
распространяется для любых некоммерческих образовательных целей.


Нашли ошибку в варианте?

Напишите нам, пожалуйста, и мы обязательно её исправим!

Для замечаний и пожелани
й:

https://vk.com/topic
-
10175642_39008096

(также доступны другие варианты для скачивания)


17

18

19

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

5

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



Система оценивания

Ответы к заданиям 1
-
19


Каждое из заданий 1

12 считается выполненными верно, если
экзаменуемый дал верный ответ в виде целого числа или конечной
десятичной дроби. Каждое верно выполненное задание оценивается 1
баллом.

Верно выполненные задания 13
-
15 максимум оцениваются в 2 балла
,
задания 16
-
17


в 3 балла, а задания18
-
19


в 4 балла.



задания

Ответ

1

9

2

60

3

18

4

0,375

5

2

6

0,9

7

5

8

45

9

-
18

10

5

11

9

12

117

13

а)

2
+
��
ǡ


6
+
2
��
ǡ

5

6
+
2
��
Ǣ



ܼ
.

б
)

1
ǡ
5

;

0
ǡ
5

;

5

6


14

arctg
13
5

15


0


(
1
Ǣ
2
)

16

2
9

17

80,5

млн

18



2

2
Ǣ
2
]

19

а) Могло, б) Не могло, в) 18,5




Решения и критерии оценивания заданий13

19


Количество баллов, выставленных за выполнение заданий 13

19, зависитот
полноты решения и правильности ответа.

Общие требования к выполнению заданий
с развёрнутымответом: решение
должно быть математически грамотным, полным, все возможныеслучаи
должны быть рассмотрены. Методы решения, формы его записииформы
записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно
получен правильный ответ, выс
тавляется максимальное количество баллов.
Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0баллов.

Эксперты проверяют только математическое содержание представленного
решения, а особенности записи не учитывают.

При выполнении задания могут исп
ользоватьсябездоказательстваи ссылок
любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных
пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендуемых к
использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию
образовательных прогр
амм среднего общегообразования.


а) Решите уравнение


1
81

cos

=
9
2
sin
2

Ǥ

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку



2

Ǣ


2

Ǥ

.

Решение:

а)


1
9
2

cos

=
9
2
sin
2


__________________________________________________________

Отрицательная
степень

ܽ


=
1
ܽ


__________________________________________________________

(
9

2
)
cos

=
9
2
sin
2


__________________________________________________________

Возведение степени в степень

(
ܽ

)

=
ܽ




__________________________________________________________

13

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

6

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



9

2
cos

=
9
2
sin
2



2
cos
ݔ
=
2
sin
2
ݔ


cos
ݔ
=
sin
2
ݔ

__________________________________________________________

Синус двойного угла

sin
2
ߙ
=
2
sin
ߙ

cos
ߙ

__________________________________________________
________


cos
ݔ
=
2
sin
ݔ

cos
ݔ

2
sin
ݔ

cos
ݔ
+
cos
ݔ
=
0

cos
ݔ

(
2
sin
ݔ
+
1
)
=
0


cos
ݔ
=
0

ݔ
=

2
+
��
Ǣ


ܼ


2
sin
ݔ
+
1
=
0

2
sin
ݔ
=

1

sin
ݔ
=

1
2

ݔ
=


6
+
2
��
Ǣ


ܼ

ݔ
=

5

6
+
2
��
Ǣ


ܼ


б)

Подберём корни для
ݔ
=

2
+
��
Ǣ


ܼ

Если

=

3
, то
ݔ
=

2

3

=

2
ǡ
5




2

Ǣ


2


Если

=

2
, то
ݔ
=

2

2

=

1
ǡ
5




2

Ǣ


2


Если

=

1
, то
ݔ
=

2


=

0
ǡ
5




2

Ǣ


2


Если

=
0
, то
ݔ
=

2



2

Ǣ


2



Подберём корни для
ݔ
=


6
+
2
��
Ǣ


ܼ

Если

=

1
, то
ݔ
=


6

2

=

13

6



2

Ǣ


2


Если

=
0
, то
ݔ
=


6



2

Ǣ


2



Подберём корни для
ݔ
=

5

6
+
2
��
Ǣ


ܼ

Если

=

1
, то
ݔ
=

5

6

2

=

17

6



2

Ǣ


2


Если

=
0
, то
ݔ
=

5

6



2

Ǣ


2


Если

=
1
, то
ݔ
=

5

6
+
2

=
7

6



2

Ǣ


2



Ответ: а)

2
+
��
ǡ


6
+
2
��
ǡ

5

6
+
2
��
Ǣ



ܼ
. б
)

1
ǡ
5

;

0
ǡ
5

;

5

6


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно
получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте
а

или в
пункте
б

ИЛИ

Получены неверные ответы из
-
за вычислительной ошибки,
но при этом имеется верная последовательность всех
шагов решения обоих пунктов


пункта
а

и пункт
а
б


1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



Сечением прямоугольного параллелепипеда
ܣܤܥܦ
ܣ
1
ܤ
1
ܥ
1
ܦ
1

плоскостью
ߙ
,
содержащей прямую
ܤ
ܦ
1

и параллельной прямой
ܣܥ
, является ромб.


а) Докажите, что грань
ܣܤܥܦ


квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями
ߙ

и
ܤܥ
ܥ
1
, если
ܣ
ܣ
1
=
10
,
ܣܤ
=
12
.

.

Решение:

а)


Построение сечения:

Продлим
ܣ
1
ܤ
1

на расстояние
ܣ
1
ܵ
, равное
ܣ
1
ܤ
1

Построим
ܵ
ܦ
1
, т.к. точки
ܵ

и
ܦ
1

лежат в одной плоско
сти

14

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

7

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



ܵ
ܦ
1

ܣ
1
ܥ
1

Построим
ܤܵ
, т.к. точки
ܤ

и
ܵ

лежат в одной плоскости

Пусть
ܤܵ

ܣ
ܣ
1
=


Построим
ܦ
1

, т.к. точки
ܦ
1

и


лежат в одной плоскости

Построим прямую
ܦ
1
ܧ

такую, что
ܦ
1
ܧ

ܤ�

Построим
ܤܧ
, т.к. точки
ܤ

и
ܧ

лежат в одной плоскости

�=

ܤ�
ܦ
1
ܧ


ромб


ܣܤܥܦ

прямоугольник

Если мы докажем, что смежные стороны этого прямоугольника равны, то
мы докажем, что это квадрат

ܣ
1



средняя линия треугольника
ܤ
ܤ
1
ܵ

(т.к.
ܣ
1


ܤ
ܤ
1

и
ܣ
1
ܵ
=
ܣ
1
ܤ
1
)

=


ܵ�
=
ܤ�


ܣܤ�
=

ܣ
1
ܵ�

по двум сторонам и углу между ними

(
ܵ�
=
ܤ�
,
ܣ
1
ܵ
=
ܣܤ
,

ܣ
1
ܵ�
=

ܣܤ�
)

�=

ܣ
1

=
ܣ�


Выразим каждую из этих сторон по теореме Пифагора:

ܣ
1

2
=
ܦ
1

2

ܣ
1
ܦ
1
2

ܣ�
2
=
ܤ�
2

ܣܤ
2

�=

ܦ
1

2

ܣ
1
ܦ
1
2
=
ܤ�
2

ܣܤ
2


ܦ
1

=
ܤ�
, т.к. у ромба
ܤ�
ܦ
1
ܧ

все с
тороны равны по определению

=


ܣ
1
ܦ
1
=
ܣܤ

ܣܦ
=
ܣܤ

�=

ܣܤܥܦ

квадрат




б)

__________________________________________________________

Схема нахождения угла между плоскостями


1) Ищем прямую пересечения плоскостей (на рисунке это
ܥܦ
)

2) На этой прямой ставим точку (на рисунке это точка
ܱ
)

3) Проводим из этой точки два перпендикуляра в каждой из плоскостей (на
рисунке
ܱܣ

ܥܦ

в плоскости
ߙ

и
ܱܤ

ܥܦ

в плоскости
ߚ
)

4) Угол между этими перпендикулярами


искомый угол между
плоскостями (на рисунке

ܣܱܤ


угол между плоскостями
ߙ

и
ߚ
)

__________________________________________________________

Плоскость
ߙ

и плоскость
ܤܥ
ܥ
1

пересекаются по прямой
ܤܧ
, поэтому угол

между этими плоскостями


это угол между перпендикулярами к этой
общей прямой, проведёнными от каждой из плоскостей


Но мы пока что не знаем точку пересечения этих перпендикуляров

__________________________________________________________

Угол между прямо
й и плоскостью


Угол между прямой и плоскостью


это угол между прямой и её проекцией
на плоскость (на рисунке

ܣ��


угол между прямой
ܣ


и
��

(её
проекцией на плоскость
ߙ
)
)

__________________________________________________________

Проведём высот
у
ܤ
1


в

ܤ
ܤ
1
ܧ

ܤ
1



это проекция
ܵ


на «правую стену», т.е. на плоскость
ܤܥ
ܥ
1

�=


ܵ�
ܤ
1


искомый угол между плоскостью
ߙ

и плоскостью
ܤܥ
ܥ
1


Найдём
ܤ
1

:

Рассмотрим

ܤ
ܤ
1
ܧ

ܤ
ܧ
=

ܤܥ
2
+
ܧܥ
2
=

12
2
+
5
2
=
13

(по теореме Пифагора)

ܵ


1

=
ܵ
஻஼

1

1

ܵ

1

1


ܵ
஻஼


ܵ


1

=
ܤܥ

ܥ
ܥ
1

ܤ
1
ܥ
1

ܧ
ܥ
1
2

ܤܥ

ܥܧ
2

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

8

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



ܵ


1

=
12

10

12

5
2

12

5
2
=
60

ܵ


1

=
1
2

ܤܧ

ܤ
1

=
1
2

13

ܤ
1



1
2

13

ܤ
1

=
60

ܤ
1

=
120
13

ܵ
ܤ
1
=
2

ܣ
1
ܤ
1
=
2

12
=
24


Рассмотрим

ܵ�
ܤ
1


прямоугольный:

tg

ܵ�
ܤ
1
=
ܵ
ܤ
1
ܤ
1

=
24
1
ǣ
120
13
=
13
5
=
2
ǡ
6



ܵ�
ܤ
1
=
arctg
13
5


Ответ:
arctg
13
5


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ в обоих пунктах

2

Верно доказан пункт
а
.

ИЛИ

Верно решён пункт
б

при отсутствии обоснований в
пункте
а

1

Решение не соответствует ни одному из
критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



Решите неравенство

13

5

3

9


12

3

+
27

0
ǡ
5
Ǥ

.

Решение:


Пусть
3

=



13

5


2

12

+
27

1
2

0


26

10



2
+
12


27
2
(

2

12

+
27
)

0




2
+
2


1
2
(

2

12

+
27
)

0



(


1
)
2
2
(

2

12

+
27
)

0



=
1


2

12

+
27

0

ܦ
=
(

12
)
2

4

1

27
=
36


1

12
+
6
2
=
9


2

12

6
2
=
3




3

=
1

3

=
3
0

ݔ
=
0

3
<
3

<
9

3
1
<
3

<
3
2

1
<
ݔ
<
2


15

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

9

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924





Ответ:

0


(
1
Ǣ
2
)


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

2

Решение содержит вычислительную ошибку, возможно,
приведшую к неверному

ответу, но при этом имеется
верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

2



В трапеции
ܣܤܥܦ

точка
ܧ


середина основания
ܣܦ
, точка



середина
боковой стороны
ܣܤ
. Отрезки
ܥ
ܧ

и
ܦ


пересекаются в точке
ܱ
.


а) Докажите, что площади четырёхугольника
ܣ
�ܱܧ

и треугольника
ܥ
ܱ
ܦ

равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь
четырёхугольника
ܣ
�ܱܧ
, если
ܤ
ܥ
=
3
,
ܣܦ
=
4
.

.

Решение:

а)


Докажем, что
ܵ
஺�஽
=
ܵ
஼ா஽

и если они будут равны, то

ܵ
஺�
�ா
=
ܵ
஼�஽


Пусть



высота, опущенная из вершины
ܥ

на
ܧܦ

в

ܥܧܦ

Тогда

2


высота, опущенная из вершины


на
ܣ
ܦ

в

ܣ
�ܦ


ܵ
஺�஽
=
1
2

ܣܦ


2
=
ܣܦ


4

ܵ
஼ா஽
=
1
2

ܦܧ


=
1
2

1
2

ܣܦ


=
ܣܦ


4


ܵ
஺�஽
=
ܵ
஼ா஽

ܵ
஺��ா
+
ܵ
஽�ா
=
ܵ
஼�஽
+
ܵ
஽�ா

�=

ܵ
஺�
�ா
=
ܵ
஼�஽




б)

ܵ
஺�
�ா
ܵ
஺஻஼஽

?


Проще найти
ܵ
஼�஽
, чем
ܵ
஺��ா


Пусть
ܦ�

ܤܥ
=
ܲ



ܣ
�ܦ
=

ܲܤ


по стороне и двум прилежащим к ней углам

16

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

10

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924




ܤ�
=
ܣ�

ܲ�ܤ
=

ܣ�ܦ

вертикальные

ܲܤ�
=

�ܣܦ

накрест

лежащие



=


ܲܤ
=
ܣܦ
=
4



ܥܱܲ
=

ܦܱܧ

по двум углам



ܱܲܥ
=

ܦܱܧ

вертикальные

ܲܥܱ
=

ܦܧܱ

накрест

лежащие



�=

ܥܱ
ܧܱ
=
ܥܲ
ܦܧ


ܥܱ
ܧܱ
=
ܤܥ
+
ܲܤ
1
2

ܣܦ


ܥܱ
ܧܱ
=
3
+
4
1
2

4


ܥܱ
ܧܱ
=
7
2


Пусть

ܧܱ
=
2
ݔ

ܥܱ
=
7
ݔ

Тогда

ܥ
ܧ
=
9
ݔ





высота в

ܥܧܦ

2
9



высота в

ܦܧܱ


ܵ
஼�஽
=
ܵ




ܵ
஽ா�


ܵ



=
1
2

ܦܧ


=
1
2

2


=


ܵ
஽ா�
=
1
2

ܦܧ

2
9

=
1
2

2

2
9

=
2
9


ܵ
஼�஽
=


2
9

=
7
9



ܵ
஺஻஼

=
ܤܥ
+
ܣܦ
2



ܵ
஺஻஼

=
3
+
4
2


=
7
2



ܵ
஼�஽
ܵ
஺஻஼஽
=
7
9

ǣ
7
2

=
2
9


ܵ
஺�
�ா
ܵ
஺஻஼஽
=
ܵ
஼�஽
ܵ
஺஻஼஽


=


ܵ
஺�
�ா
ܵ
஺஻஼஽
=
2
9


Ответ:
2
9


Содержание критерия

Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта
а

и
обоснованно получен верный ответ в пункте
б

3

Получен обоснованный ответ в пункте
б

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при
обоснованном решении пункта
б

получен неверный ответ
из
-
за арифметической ошибки

2

Имеется верное доказате
льство утверждения пункта
а
,

ИЛИ

При обоснованном решении пункта
б

получен неверный
ответ из
-
за арифметической ошибки,

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте
б

с
использованием утверждения пункта
а
, при этом пункт а не
выполнен

1

Решение не соответ
ствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

3



В июле планируется взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на
некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

17

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

11

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924






каждый январь долг возрастает на 25% по
сравнению с концом
предыдущего года;



с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;



в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше
долга на июль предыдущего года.


Чему будет равна общая сумма выплат после полного п
огашения кредита,
если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

.

Решение:


Пусть



срок кредита


Составим таблицу:

Год

Долг на
начало года

Основной
платёж

Дополнительный
платёж

1

28

28


25
100

28
=
7








28


28


25
100

28

=
7



Очевидно, что наибольший годовой платёж будет в первом году (потому
что платежи равномерно уменьшаются в течение


лет)

=


Наибольший годовой платёж
=
9

млн


28

+
7
=
9


28

=
2



=
14


=


В таблице все значения становятся известными:

Год

Долг на
начало года

Основной
платёж

Дополнительный
платёж

1

28

28
14
=
2

7






14

2

2

7
14
=
0
ǡ
5


Общая сумма выплат (ОСВ)


это все основные платежи
и

все
дополнительные платежи (сумму всех дополнительных платежей найдём с
помощью формулы суммы первых


членов арифметической прогрессии
)

__________________________________________________________

Сумма первых
n

членов арифметической прогрессии

ܵ

=
ܽ
1
+
ܽ

2



______________________________
____________________
________

ОСВ
=
14

2
+
7
+
0
ǡ
5
2

14


ОСВ
=
28
+
7
ǡ
5

7
=
80
ǡ
5


Ответ:
80,5

млн


Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен верный ответ

3

Верно построена математическая модель, решение сведено
к исследованию этой модели, получен неверный ответ из
-
за
вычислительной ошибки

ИЛИ

Получен верный ответ, но решение
недостаточно
обоснованно

2

Верно построена математическая модель и решение
сведено к исследованию этой модели, при этом решение
может быть не завершено

1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

3

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

12

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924




Найдите все значения
ܽ
, при каждом из которых система неравенств

{
2
ܽ

ݔ
ǡ
6
ݔ
>
ݔ
2
+
ܽ
2
ǡ
ݔ
+
ܽ

6

имеет хотя бы одно решение на отрезке

4
Ǣ
5

.


.
Решение:


{
ܽ

ݔ
2
ǡ
ݔ
2

6
ݔ
+
9

9
+
ܽ
2
<
0
ǡ
ܽ


ݔ
+
6


{
ܽ

ݔ
2
ǡ
(
ݔ

3
)
2
+
ܽ
2
<
9
ǡ
ܽ


ݔ
+
6


Построим все неравенства в системе координат
ݔܱܽ
:


Найдём нижнюю точку пересечения окружности и прямой
ݔ
=
4

6
ݔ
=
ݔ
2
+
ܽ
2

6

4
=
4
2
+
ܽ
2

24
=
16
+
ܽ
2

ܽ
2
=
8

ܽ
=

2

2


Итак,

Если
ܽ
<

2

2
, то решений на отрезке

4
Ǣ
5


нет

Если
ܽ
=

2

2
, то решений на отрезке

4
Ǣ
5


нет

Если

2

2
<
ܽ
<
2
, то решения на отрезке

4
Ǣ
5


есть

Если
ܽ
=
2
, то решения на отрезке

4
Ǣ
5


есть

Если
ܽ
>
2
, то решений на отрезке

4
Ǣ
5


нет


Ответ:
ܽ



2

2
Ǣ
2
]


18

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

13

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



Содержание критерия

Баллы

Обоснованно получен правильный ответ

4

С помощью верного рассуждения получено
множество
значений а, отличающееся от искомого конечным числом
точек

3

С помощью верного рассуждения получены все граничные
точки искомого множества значений а

2

Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого
множества значений а

1

Решение не
соответствует ни одному из критериев,
перечисленных выше

0

Максимальный балл

4


На доске было написано 30 натуральных чисел (необязательно различных),
каждое из которых не превосходит 40. Среднее арифметическое
написанных чисел равнялось 7. Вместо
каждого из чисел на доске написали
число, в два раза меньшее первоначального. Числа, которые после этого
оказались меньше 1, с доски стёрли.


а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел, оставшихся
на доске, больше 14?

б) Могло ли среднее а
рифметическое оставшихся на доске чисел оказаться
больше 12, но меньше 13?

в) Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического
чисел, которые остались на доске.

.

Решение:


а)

У нас есть 30 чисел от 1 до 40


Среднее арифметическое равно 7

Сре
днее

арифметическое
=
Суммаэтихчисел
30
=
7

=


Сумма этих чисел равна 210


Очевидно, что стёрли только те числа, которые были изначально
единичками


Среднее арифметическое было 7, а должно стать больше 14

=


Проще подобрать такой пример, в котором единичек наиб
ольшее
возможное количество


30 единичек быть не может

(т.к. тогда сумма чисел равна 30, а должна быть 210)


29 единичек быть не может

(т.к. тогда сумма 29 единичек равна 29 и последнее число
181
, чего быть не
может)


28 единичек быть не может

(т.к. тогда
сумма 28 единичек равна 28 и последние два числа в сумме 182,
чего быть не может)


27 единичек быть не может

(т.к. тогда сумма 27 единичек равна 27 и последние три числа в сумме 183,
чего быть не может)


26 единичек быть не может

(т.к. тогда сумма 26 едини
чек равна 26 и последние четыре числа в сумме
184, чего быть не может)


25 единичек может быть

(т.к. тогда сумма 25 единичек равна 25 и последние пять чисел в сумме 185,
т.е. 5 чисел 37, например)


Пусть на доске написано:

25 чисел 1

5 чисел 37


Первоначал
ьное среднее арифметическое:

25

1
+
5

37
30
=
7


Среднее арифметическое после изменения чисел:

5

18
ǡ
5
5
=
18
ǡ
5

18
ǡ
5
>
14

=


Могло

19

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

14

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924




б)

Пусть

ݔ

количество единичек

ܵ

первоначальная сумма чисел (всех, кроме единичек)

Тогда


2

оставшаяся сумма чисел (всех, кроме
единичек)


Первоначальное среднее арифметическое:

ݔ

1
+
ܵ
30
=
7

�=

ݔ
+
ܵ
=
210

ܵ
=
210

ݔ


Среднее арифметическое после изменения чисел:


2
30

ݔ
=
ܵ
60

2
ݔ


Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться
больше 12, но меньше 13?


Получаем не
равенство:

12
<
ܵ
60

2
ݔ
<
13


12
<
210

ݔ
60

2
ݔ
<
13












(
60

2
ݔ
)


720

24
ݔ
<
210

ݔ
<
780

26
ݔ



720

24
ݔ
<
210

ݔ
210

ݔ
<
780

26
ݔ



23
ݔ
>
510
25
ݔ
<
570



23
ݔ
>
510
5
ݔ
<
114


{
ݔ
>
22
4
23
ݔ
<
22
ǡ
8

22
4
23
<
ݔ
<
22
ǡ
8

�=

Целых
ݔ
, удовлетворяющих неравенству нет

=


Не могло


в)

Среднее

арифметическое после изменения чисел:

ܵ
60

2
ݔ
=
210

ݔ
60

2
ݔ
=
30

ݔ
60

2
ݔ
+
180
60

2
ݔ
=
1
2
+
90
30

ݔ


Чтобы найти наибольшее значение этого числа, нужно подставить
наибольшее возможное значение
ݔ


В пункте а) мы доказали, что максимально возможное число пятёрок


это
25, т.е.
ݔ
=
25


Тогда

1
2
+
90
30

ݔ
=
1
2
+
90
30

25
=
0
ǡ
5
+
18
=
18
ǡ
5

(такой же результат, как и в пункте а)


Ответ: а) Могло, б) Не могло, в) 18,5


Содержание критерия

Баллы

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1
балл) результаты

4

Верно получены
три из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов

3

Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1
балл) результатов

2

Верно получен один из следующих результатов:

-

обоснованное решение п. а;

-

обоснованное решение п. б;

-

искомая оценка

в п. в;

-

пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей
оценки

1

Решение не соответствует ни одному из критериев,
0

Единый государственный экзамен, 2019

г.

МАТЕМАТИКА.
Профильный уровень

Тренировочный
вариант №4 от 24
.
09
.201
8

15

/
15




2018

Всероссийский проект «
ЕГЭ 100 БАЛЛОВ

vk
.
com
/
ege
100
ballov

Составитель
:
vk.com/shkolapifagora



Разбор

всех заданий:

vk.com/
math
_100/2019
kim
0
4

Разрешается свободное копирование в некоммерческих
образовательных целях


ТРЕНИРОВОЧНЫЙ КИМ №
1
80924



перечисленных выше

Максимальный балл

4






Приложенные файлы

  • pdf 9486381
    Размер файла: 758 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий