Метод_теор_вероятн

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»




ИНСТИТУТ НЕФТИ И ГАЗА

Кафедра «Моделирование и управление
процессами нефтегазодобычи»







МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к самостоятельной работе студентов по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» дисциплины «Математика» для студентов инженерных специальностей очной и заочной форм обучения
















Тюмень 2003

Утверждено редакционно-издательским советом
Тюменского государственного нефтегазового университета.













Составители: Кучумов Р.Я., профессор, д.т.н.
Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н.
Мусакаева М.Ф., ассистент


















© Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»


2003 г.
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ РАЗДЕЛУ «ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА»

Случайные события и их классификация.
Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятности.
Аксиомы Колмагорова.
Условная вероятность. Формула умножения вероятностей. Попарная независимость событий и независимость в совокупности.
Формула полной вероятности.
Формулы Байеса.
Схема независимых испытаний. Формула Бернулли.
Локальная теорема Муавра–Лапласа.
Формула Пуассона как асимптотическая для формулы Бернулли.
Простейший поток событий.
Интегральная теорема Лапласа.
Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины. Примеры.
Функция распределения и плотность распределения вероятностей одномерной случайной величины. Свойства.
Числовые характеристики случайной величины.
Понятие многомерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения вероятности двумерной случайной величины. Свойства.
Числовые характеристики двумерной случайной величины. Коэффициент корреляции.
Закон больших чисел. Неравенство Маркова. Теоремы Чебышева.
Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных слагаемых.
Дискретный и интервальный ряды распределения. Полигон и гистограмма.
Генеральная совокупность и выборка.
Точечные оценки параметров распределения. Свойства оценок. Методы получения оценок.
Доверительная вероятность. Доверительный интервал. Примеры построения доверительных интервалов.
Статистическая проверка гипотез. Критерии согласия.
Функциональная, статистическая и корреляционная зависимость.
Оценка коэффициента корреляции и коэффициентов регрессии по выборочным данным.

ЗАДАНИЕ 1

Пример: Из колоды в 36 карт наугад вынимаются три карты. Какова вероятность того, что среди них окажутся два туза?
Решение: Обозначим интересующее нас событие через A. Общее число равновозможных, элементарных и несовместных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь три карты из колоды в 36 карт, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Подсчитаем число исходов, благоприятствующих событию A. Два туза можно взять из четырех имеющихся в колоде тузов 13 EMBED Equation.3 1415 способами; при этом третья вынутая карта должна быть «не тузом»; взять одну карту из 32 имеющихся в колоде «не тузов» можно 13 EMBED Equation.3 1415 способами. Тогда число благоприятствующих исходов 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415


1.1. На сборку механизма поступают детали с двух автоматов. Первый автомат в среднем дает 1 % брака, второй – 1,5 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 2000 деталей, а со второго – 1500.
1.2. В урне 4 белых и 5 чёрных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров – белый, а другой – черный.
1.3. Бросаются три игральных кубика (можно один кубик три раза). Какова вероятность того, что сумма выпавших очков на верхних гранях больше 4?
1.4. Из 60 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент подготовил 50. Какова вероятность того, что вытянутый студентом билет, содержащий два вопроса, будет состоять из подготовленных им вопросов?
1.5. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?
1.6. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию из 3 человек. Считая, что каждый из присутствующих с одинаковой вероятностью может быть избран, найти вероятность того, что в делегацию войдут две женщины и один мужчина.
1.7. В лотерее разыгрывается 500 билетов. Среди них два выигрыша по 100 рублей, пять – по 50 рублей, десять – по 20 рублей, и 25 – по 5 рублей. Некто покупает один билет. Найти вероятность:
а) выигрыша не менее 50 рублей;
б) какого–либо выигрыша.
1.8. В мастерскую для ремонта поступило 15 телевизоров. Известно, что 6 штук из них нуждаются в общей регулировке. Мастер берет первые попавшиеся 5 телевизоров. Какова вероятность того, что два из них нуждаются в общей регулировке?
1.9. В партии, состоящей из 20 женских пальто, находится 8 изделий местного производства. Товаровед наудачу отбирает три изделия. Какова вероятность того, что все отобранные изделия местного производства?
1.10. Четырехтомное сочинение расположено на полке в случайном порядке. Найти вероятность того, что тома стоят в должном порядке справа налево или слева направо.
1.11. Группа из 10 мужчин и 10 женщин делится случайно на две равные части. Найти вероятность того, что в каждой части мужчин и женщин одинаково.
1.12. В кармане имеется несколько монет достоинствам 5 и 10 копеек на ощупь не различимых. Известно, что пятикопеечных монет может быть втрое больше, чем десятикопеечных. Наугад вынимается одна монета. Какова вероятность того, что это будет монета достоинствам 10 копеек?
1.13. Через остановку возле вокзала проходят автобусы маршрутов № 2, 3, 14, 29. Пассажир ждет автобус маршрутов № 2 и 3. Известно, что среди 45 автобусов, курсирующих через эту остановку, имеется шесть автобусов маршрута № 2 и девять автобусов маршрута № 3. Определить вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного пассажиру маршрута.
1.14. Лифт в пятиэтажном доме отправляется с тремя пассажирами. Найти вероятность того, что на каждом этаже выйдет не более одного пассажира, предполагая, что все возможные способы распределения пассажиров по этажам равновероятны.
1.15. В партии из 100 бурильные труб содержится 5 % бракованных. Какова вероятность, что среди выбранных наудачу 10 труб окажется 2 бракованных?
1.16. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Определить вероятность того, что наудачу извлеченный кубик будет иметь ровно две окрашенные грани.
1.17. Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что: а) сумма числа очков не превосходит 5;
б) произведение числа очков не превосходит 5;
в) произведение числа очков делится на 5.
1.18. В лифт семиэтажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что все вышли на разных этажах.
1.19. В группе из 30 студентов на контрольной работе получили: 6 студентов – оценку отлично, 10 студентов – хорошо, 9 студентов – оценку удовлетворительно. Какова вероятность того, что все три студента, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе?
1.20. Наудачу взятый телефонный номер состоит из пяти цифр. Какова вероятность того, что в нем:
а) все цифры различные;
б) все цифры нечетные?
1.21. Среди 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Взяли 6 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.
1.22. Из партии, в которой 32 детали без дефектов и 6 с дефектами, берут наудачу 3 детали. Чему равна вероятность того, что все три взятые детали окажутся без дефектов?
1.23. Для проведения экзамена по курсу подготовлено 25 билетов, содержащих по 2 вопроса, которые не повторяются. Студент знает только ответы на 45 вопросов. Какова вероятность того, что вытянутый им на экзамене билет состоит из подготовленных им вопросов?
1.24. Наблюдениями установлено, что в некоторой местности в сентябре в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность того, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней три окажутся дождливыми?
1.25. В партии товара, состоящей из 30 детских костюмов, находится 10 изделий местного производства. Наудачу отобраны три костюма. Какова вероятность того, что среди отобранных наудачу четырех костюмов, два окажутся местного производства.


ЗАДАНИЕ 2

Пример: В бригаде, которая состоит из 10 мужчин и 5 женщин, на дежурство выделяется по списку 3 человека. Какова вероятность того, что среди них будет хотя бы одна женщина?
Решение: Обозначим интересующее нас событие через A.
Первый способ. Требование – среди отобранных на дежурство членов бригады будет хотя бы одна женщина – будет выполнено, если произойдет любое из несовместных событий:
B – среди отобранных на дежурство будет одна женщина;
C – среди отобранных на дежурство будет две женщины;
D – трое отобранных на дежурство членов бригады оказались женщинами.
Событие A можно представить в виде суммы событий B, C и D. По теореме сложения вероятностей, 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем вероятности событий B, C и D (см. решение примера к заданию 1):
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Второй способ. События 13 EMBED Equation.3 1415 (среди отобранных на дежурство будет хотя бы одна женщина) и 13 EMBED Equation.3 1415 (среди отобранных на дежурство не будет ни одной женщины) – противоположные. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 (сумма вероятностей противоположных событий равна единице).
Вероятность события 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда, 13 EMBED Equation.3 1415.


2.1. Вероятность того, что в течение дня произойдет неполадка станка, равна 0,03. Какова вероятность того, что в течение четырех дней подряд не произойдет ни одной неполадки?
2.2. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0.6, для второго – 0.7, для третьего – 0.8. Определить вероятность того, что в цель попадает хотя бы один стрелок.
2.3. В урне 9 белых шаров и один черный шар. Вынули сразу 3 шара. Какова вероятность того, что все шары белые?
2.4. В сосуде находится 11 шаров, из которых 4 цветных и 7 белых. Найти вероятность двукратного извлечения из сосуда цветного шара:
а) если вынутый шар возвращается обратно в сосуд;
б) если вынутый шар в сосуд не возвращается.
2.5. От группы студентов, состоящей из 14 юношей и 11 девушек, на профсоюзную конференцию выбирается два человека. Какова вероятность того, что среди выбранных буде хотя бы одна девушка?
2.6. Два стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком 0,9, а вторым – 0,8. Найти вероятность того, что:
а) мишень поразит только один из стрелков;
б) хотя бы один из стрелков.
2.7. Студент идет на экзамен, подготовив только 15 вопросов из требуемых 18. Экзаменатор задает студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает все три вопроса.
2.8. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй – 0,3, третий – 0,4. По условиям приема, события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Определить вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.
2.9. В тренировках по парным соревнованиям в беге участвуют 6 учащихся из школы №1, 7 из школы №2, 8 из школы № 3. Найти вероятность того, что по жеребьевке в первую пару бегунов войдут два учащихся только из школы №1 или только из школы № 2.
2.10. В урне 2 белых, 3 черных и пять красных шаров. Три шара вынимаются наугад. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы два будут разного цвета.
2.11. Производится три выстрела по одной мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,5. Найти вероятность того, что в результате этих выстрелов будет только одно попадание.
2.12. В классе 12 мальчиков и 18 девочек. Нужно выбрать делегацию из двух человек. Какова вероятность (если выбор считать случайным), что выбраны:
а) два мальчика;
б) две девочки;
в) девочка и мальчик?
2.13. В первом ящике 6 шаров: 1 белых, 2 красных и 3 синих. Во втором ящике 12 шаров: 2 белых, 6 красных, 4 синих. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что среди вынутых шаров нет синих?
2.14. Вероятность покупки мужской обуви 38-го размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из трех первых покупателей обувь этого размера:
а) ни одному не потребуется;
б) потребуется хотя бы одному.
2.15. Вероятность попадания в цель равна 0,9. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет:
а) три попадания;
б) только одно попадание;
в) хотя бы одно попадание.
2.16. В ящике смешаны нити трех цветов: белых – 50 %, красных – 30 %, черных – 21 %. Определить вероятность того, что при последовательном вытягивании наугад трех нитей окажется:
а) все нити одного цвета;
б) все нити разных цветов;
в) две нити одного цвета.
2.17. Бросаются одновременно две игральные кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших очков будет четным.
2.18. Из 30 учащихся в классе 20 сказали, что они любят математику и 16 –историю. Сколько учеников любят оба предмета? Какова вероятность того, что ученик этого класса любит оба предмета?
2.19. Бросают две игральные кости. Найти условную вероятность того, что одна кость показывает шестерку при условии, что другая показывает четверку.
2.20. Учебный отдел проверяет, сколько студентов группы изучают иностранные языки. Было установлено, 5 из 25 студентов изучают английский и немецкий языки, при этом 15 студентов изучают английский язык, 12 студентов изучают язык. Какова вероятность того, что случайно вызванный студент не изучает ни одного иностранного языка?
2.21. Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы появление 5 очков хотя бы один раз получило вероятность больше 0,95?
2.22. Вероятность попадания в цель равна 0,8. Определить вероятность того, что при трех выстрелах будет: а) три попадания; б) только одно попадание; в) хотя бы одно попадание.
2.23. Студент пришел на экзамен, зная 15 из 20 вопросов программы. Экзаменатор задал студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент знает эти вопросы, если:
а) вопросы были заданы последовательно по мере ответа;
б) все вопросы были заданы сразу.
2.24. Глубинный манометр испытывается на герметизацию. Проводится не более 5 испытаний, при каждом испытании манометр выходит из строя с вероятностью 0,05. После первого выхода из строя манометр ремонтируется, после второго признаётся негодным. Какова вероятность, что манометр будет признан негодным после пятого испытания?
2.25. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,7, для второго – 0,85, для третьего – 0,9. Определить вероятность того, что все три стрелка одновременно попадут в цель.

ЗАДАНИЕ 3

Пример: На станции слежения установлены 4 радиолокатора различных конструкций. Вероятность обнаружения цели с помощью первого локатора равна 0,86, второго – 0,90, третьего – 0,92, четвертого – 0,95. Наблюдатель наугад включает один из локаторов. Какова вероятность обнаружения цели?
Решение: Обозначим интересующее нас событие через A. Возможны следующие предположения (гипотезы) о том, какой из локаторов был включен для слежения за целью: B1 – первый локатор; B2 – второй; B3 – третий; B4 – четвертый. Поскольку все выдвинутые гипотезы по условию равновероятны и сумма вероятностей гипотез равна единице (они образуют полную группу несовместных событий), то 13 EMBED Equation.3 1415
Из условия задачи следует, что
13 EMBED Equation.3 1415
По формуле полной вероятности имеем
13 EMBED Equation.3 1415


3.1. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что первый автомат дает 0,3 % брака, второй – 0,2 %, третий – 0,4 %. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1000, со второго – 2000 и с третьего – 2500 деталей.
3.2. Имеются две партии изделий по 12 и 10 штук, причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Определить вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
3.3. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложено 2 шара в урну, содержащую 4 белых и 4 черных шара. Найти вероятность вынуть после этого из второй урны белый шар.
3.4. Трое рабочих обрабатывают однотипные детали. Первый обработал за смену 20 деталей, второй – 25, третий – 15. Вероятность 6рака для первого рабочего равна 0,03, для второго – 0,02, для третьего – 0,04. Из общей выработки за смену наудачу взята и проверена одна деталь, которая оказалась бракованной. Найти вероятность того, что она обработана вторым рабочим.
3.5. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностью Р1, Р2, Р3, где Р1 = Р2 = 0,25, Р3 = 0,5. Вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов, равно соответственно 0,1; 0,2; 0,4. Определить вероятность того, что радиолампа проработает заданное число часов.
3.6. Сборщик получает в среднем 50 % деталей завода № 1, 30 %– завода № 2, 20 % – завода № 3. Вероятность того, что деталь завода № 1 отличного качества равна 0,9, для заводов № 2 и № 3 эти вероятности равны соответственно 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлечённая наудачу деталь окажется отличного качества.
3.7. В правом кармане имеются 3 монеты по два рубля и 4 монеты по одному рублю, а в левом – 6 монет по два рубля и 3 монеты по одному рублю. Из правого кармана в левый наудачу перекладываются 5 монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана монеты в два рубля после перекладывания, если монета берется наудачу.
3.8. Литье в болванках поступает из двух заготовительных цехов: 70 % из первого и 30 % из второго. При этом материал первого цеха имеет 10 % брака, а второго – 20 %. Найти вероятность того, что одна взятая наугад болванка без дефектов.
3.9. На спартакиаду прибыло 20 лыжников, 15 гимнастов и 5 шахматистов. Вероятность выполнить квалифицированную норму такова: для лыжников – 0,85; для гимнастов – 0,6; для шахматистов – 0,8. Случайно вызывается один спортсмен. Какова вероятность, что он выполнит норму? Случайно вызванный спортсмен выполнил норму. Какова вероятность, что он лыжник?
3.10. Три автомата изготовляют одинаковые детали. Их производительность относится как 5:3:2, а стандартные детали среди их продукции составляют в среднем соответственно 99, 98, 97 %. Найти вероятность того, что наудачу взятая из нерассортированной продукции деталь окажется нестандартной.
3.11. Два стрелка сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,3. В мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что она принадлежит первому стрелку.
3.12. В ящике имеются детали трёх типов: 40 деталей первого типа, 50 деталей второго и 60 деталей третьего, причём окрашенные среди них составляют соответственно 20, 40, 60 %. Найти вероятность того, что наудачу извлечённая из ящика деталь окажется окрашенной.
3.13. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0,8; 7 – с вероятностью 0,7; 4 – с вероятностью 0,6 и 2 – с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок произвёл выстрел, но в мишень не попал. К какой группе вероятнее всего принадлежал этот стрелок?
3.14. Имеются три одинаковые по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором ящике 10 белых и 10 чёрных шаров, в третьем ящике 20 чёрных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Вычислить вероятность того, что шар вынут из первого ящика.
3.15. Известно, что 96 % выпускаемых заводом изделий отвечает стандарту. Упрощённая схема контроля признаёт пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0,95 и нестандартную с вероятностью 0,05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощённый контроль, отвечает стандарту.
3.16. Два охотника одновременно увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Каждый из этих охотников на таком расстоянии обычно в одном случае из трех попадает в лису и убивает её. Какова вероятность того, что лиса будет убита?
3.17. 90 % всходов были признаны здоровыми. Вероятность того, что здоровое растение даёт семена, равна 0,8. Вероятность того, что больное растение даёт семена, равна 0,2. Какова вероятность того, что растение, выбранное наугад, даёт семена?
3.18.Имеются две урны. В первой урне два белых и три чёрных шара, во второй – три белых и пять чёрных. Из первой и второй урн, не глядя, берут по одному шару и кладут их в третью урну. Шары в третьей урне перемешивают и берут из неё наугад один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
3.19. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,076, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Какова вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь нестандартна?
3.20. Счетчик регистрирует частицы трех типов – А, В и С. Вероятность появления этих частиц Р(А) = 0,2; Р(В) = 0,3; Р(С) = 0,5. Частицы каждого из этих: типов счетчик угадывает с вероятностями Р1 = 0,8; Р2 = 0,2; Р3 = 0,4. Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.
3.21. Три автомата различной марки изготавливают детали. Производительность 1-го автомата за смену составляет 40 деталей, 2-го – 35 деталей, 3-го – 25 дета
·лей. Установлено, что имеют скрытые дефекты 2, 3 и 5 % продукции этих автоматов соответственно. В конце смены на контроль взята одна деталь. Найти вероятность того, что эта деталь нестандартна.
3.22. Для контроля продукции из 3 партий взята одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 1/3 деталей – бракованные, а в двух других все доброкачественные?
3.23. Среди 350 механизмов 160 первого, 110 – второго, 80 – третьего сорта. Вероятность брака среди механизмов первого сорта 0,01, среди второго сорта 0,02, среди третьего сорта 0,04. Берется один механизм. Определить вероятность того, что механизм исправный.
3.24. Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,08, а на втором – 0,09. Производительность второго автомата вдвое больше, чем первого. Найти вероятность того, что наудачу взятая с конвейера деталь, нестандартна.
3.25. Вся продукция цеха проверяется двумя контролерами, причем первый контролер проверяет 55 % изделий, а второй – остальные. Вероятность того, что первый контролер пропустит нестандартное изделие, равна 0,01, второй – 0,02. Взятое наудачу изделие, маркированное как стандартное, оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверялось вторым контролером.
ЗАДАНИЕ 4

Пример: Производится 4 (п = 4) независимых испытания. При каждом испытании событие A появляется с одной и той же вероятностью p = 2/3. Составить ряд распределения для числа появлений события A в выборке объема n. Определить вероятность того, что событие A появится не менее двух раз. Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание m(x), дисперсию D(x).
Решение: Дискретная случайная величина X, представляющая собой число появлений события A в выборке объема n, имеет следующие возможные значения: 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку испытания независимы и при каждом испытании вероятность появления события A одна и та же, то для определения соответствующих вероятностей применима формула Бернулли 13 EMBED Equation.3 1415. Учитывая, что, по условию, п = 4, p = 2/3 (следовательно, q =1 – p = 1/3), получим
13 EMBED Equation.3 1415
остальные вероятности при m = 2, 3, 4 находятся аналогично.
Составим искомый ряд распределения случайной величины X:
Таблица 1
X
0
1
2
3
4
13 EMBED Equation.3 1415

Pi
0,0123
0,0988
0,2963
0,3951
0,1975



Вероятность того, что событие A появится в 6 независимых испытаниях не менее двух раз, найдем следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
Из табл. 1 и из определения функции распределения случайной величины X следует:
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как значений, меньших числа 0, величина X не принимает;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как величина X может принять значение 0 с вероятностью 0,0123;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как в этом случае величина X может принять значение 0 или 1, и по теореме сложения вероятностей имеем
13 EMBED Equation.3 1415
причем события X = 0 и X = 1 несовместные;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как событие 13 EMBED Equation.3 1415 достоверное и вероятность его равна единице.
Итак, искомая функция распределения имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Математическое ожидание случайной величины X найдем, исходя из его определения:
13 EMBED Equation.3 1415
Дисперсию можно вычислить, исходя из его определения, однако воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
которая быстрее ведет к цели.
Найдем математическое ожидание случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.


Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна p. В задачах 4.1 – 4.25 составить ряд распределения для случайной величины X, представляющей собой число бракованных деталей в выборке объема n. Определить вероятность того, что в выборке будет:
а) ровно k бракованных деталей;
б) не более k бракованных деталей;
в) ни одна деталь не бракованная.
Найти функцию распределения F(x), математическое ожидание m(x), дисперсию D(x).

4.1.
п = 4
p = 0,8
k = 2

4.2.
п = 3
p = 0,7
k = 2

4.3.
п = 6
p = 0,1
k = 4

4.4.
п = 4
p = 0,3
k = 2

4.5.
п = 5
p = 0,3
k = 4

4.6.
п = 3
p = 0,9
k = 2

4.7.
п = 4
p = 0,8
k = 3

4.8.
п = 5
p = 0,2
k = 4

4.9.
п = 5
p = 0,4
k = 3

4.10.
п = 5
p = 0,7
k = 4

4.11.
п = 5
p = 0,3
k = 3

4.12.
п = 4
p = 0,7
k = 3

4.13.
п = 4
p = 0,5
k = 2

4.14.
п = 4
p = 0,4
k = 3

4.15.
п = 6
p = 0,2
k = 4

4.16.
п = 6
p = 0,3
k = 2

4.17.
п = 5
p = 0,5
k = 4

4.18.
п = 3
p = 0,9
k = 2

4.19.
п = 3
p = 0,7
k = 2

4.20.
п = 4
p = 0,7
k = 3

4.21.
п = 4
p = 0,9
k = 2

4.22.
п = 4
p = 0,4
k = 2

4.23.
п = 5
p = 0,6
k = 4

4.24.
п = 5
p = 0,7
k = 2

4.25.
п = 4
P = 0,4
k = 3




ЗАДАНИЕ 5

Пример: Случайная величина X в интервале 13 EMBED Equation.3 1415 задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала 13 EMBED Equation.3 1415. Найти: а) значение постоянного параметра данного распределения; б) функцию распределения F(x); в) математическое ожидание и дисперсию.
Решение: Плотность распределения f(x) должна удовлетворять условию 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415
т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Для нахождения F(х) воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Итак, искомая функция распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой 13 EMBED Equation.3 1415. Поскольку все возможные значения случайной величины X принадлежат интервалу 13 EMBED Equation.3 1415 и на этом интервале 13 EMBED Equation.3 1415, то
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем дисперсию из формулы 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415


В задачах 5.1 – 5.13 случайная величина X задана функцией распределения F(х). Найти:
плотность распределения вероятностей f(x);
математическое ожидание;
построить графики функций f(x), F(х).

5.1. 13 EMBED Equation.3 1415 5.2. 13 EMBED Equation.3 1415

5.3. 13 EMBED Equation.3 1415 5.4. 13 EMBED Equation.3 1415

5.5. 13 EMBED Equation.3 1415 5.6. 13 EMBED Equation.3 1415

5.7. 13 EMBED Equation.3 1415 5.8. 13 EMBED Equation.3 1415

5.9. 13 EMBED Equation.3 1415 5.10. 13 EMBED Equation.3 1415

5.11. 13 EMBED Equation.3 1415 5.12. 13 EMBED Equation.3 1415

5.13. 13 EMBED Equation.3 1415

В задачах 5.14 – 5.25 задана плотность распределения f(x) случайной величины x. Найти:
значение постоянного параметра данного распределения;
функцию распределения F(x);
математическое ожидание и дисперсию;
вероятность попадания в заданный интервал ((, ().

5.14. 13 EMBED Equation.3 1415

5.15 13 EMBED Equation.3 1415

5.16. 13 EMBED Equation.3 1415

5.17. 13 EMBED Equation.3 1415

5.18. 13 EMBED Equation.3 1415

5.19. 13 EMBED Equation.3 1415

5.20. 13 EMBED Equation.3 1415

5.21. 13 EMBED Equation.3 1415
5.22. 13 EMBED Equation.3 1415

5.23. 13 EMBED Equation.3 1415

5.24. 13 EMBED Equation.3 1415

5.25. 13 EMBED Equation.3 1415



ЗАДАНИЕ 6

Пример: Найти вероятность того, что нормально распределённая случайная величина X c математическим ожиданием m = 3 и средним квадратическим отклонением ( = 2, примет значение в интервале (–1, 5).
Решение: Воспользуемся формулой для расчета вероятности попадания случайной величины X в заданный интервал 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 – функция Лапласа.
По условию, 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда
13 EMBED Equation.3 1415


В задачах 6.1 – 6.25 требуется найти вероятность попадания в заданный интервал 13 EMBED Equation.3 1415 нормально распределённой случайной величины, если известны её математическое ожидание m и среднее квадратическое отклонение (.

6.1.
( = 1
( = 5
m = 2
( = 2

6.2.
( = 2
( = 6
m = 3
( = 2

6.3.
( = 3
( = 7
m = 4
( = 3

6.4.
( = 4
( = 8
m = 5
( = 3

6.5.
( = 5
( = 9
m = 6
( = 3

6.6.
( = 1
( = 5
m = 4
( = 1

6.7.
( = 2
( = 6
m = 4
( = 2

6.8.
( = 3
( = 7
m = 4
( = 2

6.9.
( = 4
( = 8
m = 5
( = 3

6.10.
( = 5
( = 9
m = 6
( = 3

6.11.
( = 6
( = 10
m = 8
( = 2

6.12.
( = 4
( = 10
m = 6
( = 3

6.13.
( = 8
( = 12
m = 10
( = 1

6.14.
( = 4
( = 8
m = 5
( = 2

6.15.
( = 1
( = 8
m = 4
( = 3

6.16.
( = 2
( = 6
m = 5
( = 2

6.17.
( = 3
( = 9
m = 5
( = 2

6.18.
( = 4
( = 9
m = 6
( = 4

6.19.
( = 2
( = 7
m = 4
( = 3

6.20.
( = 5
( = 9
m = 8
( = 1

6.21.
( = 6
( = 12
m = 10
( = 2

6.22.
( = 2
( = 8
m = 6
( = 3

6.23.
( = 1
( = 4
m = 3
( = 2

6.24.
( = 3
( = 7
m = 5
( = 1

6.25.
( = 6
( = 12
m = 8
( = 4


ЗАДАНИЕ 7

Пример: Наблюдения за случайной величиной X дали следующие результаты:

3,86
4,04
3,65
3,97
3,76
3,61
3,95
4,04
3,84
3,94

3,98
3,61
3,87
4,04
3,99
3,69
3,76
3,71
3,94
3,82

4,16
3,76
4,00
3,45
4,08
3,88
4,01
3,93
3,71
3,81

4,02
4,17
3,72
4,09
3,78
4,02
3,73
3,52
3,89
3,92

4,18
4,26
4,03
4,14
3,72
4,35
3,82
4,03
3,62
3,91


а) Построить по этим данным интервальный вариационный ряд и изобразить его графически, найти эмпирическую функцию распределения.
б) Определить несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
в) По критерию
·2 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
г) Найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины Х с уровнем доверия
·=0,99.
Решение: а) Для построения вариационного ряда составим таблицу 2, в первом столбце которой расположим в порядке возрастания частичные интервалы равной длины (первый интервал 3,45–3,60, второй 3,60–3,75 и т.д.), а во втором напишем найденные путем подсчета соответствующие частоты для каждого интервала:
Таблица 2
Частичный интервал
Сумма частот вариант частичного интервала, ni
Частичный интервал
Сумма частот вариант частичного интервала, ni

3,45–3,60
3,60–3,75
3,75–3,90
3,90–4,05
2
10
12
18
4,05–4,20
4,20–4,35
6
2



Сумма
50


Графически данный ряд можно изобразить в виде гистограммы частот (рис. 1).
Найдем эмпирическую функцию распределения. Объем выборки n = 50. Наименьшая варианта равна 3,45, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение случайной величиной X, меньшее 3,60, наблюдалось два раза, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Значение X, меньшее 3,75, наблюдалось 2+10=12 раз; следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Для значений X, меньших 3,90; 4,05; 4,20 и 4,35, функция F(x) находится аналогично.
Поскольку значение X, равное 4,35 – наибольшая варианта, то 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.
Напишем искомую эмпирическую функцию распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
б) Несмещенную оценку для математического ожидания (среднего арифметического взвешенного) найдем по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
где k – количество вариант.
При вычислении математического ожидания и дисперсии случайной величины Х в качестве вариант будем принимать середины интервалов. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Для вычисления дисперсии воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Несмещенной оценкой для дисперсии служит исправленная дисперсия:
13 EMBED Equation.3 1415
в) Пусть случайная величина Х распределена по нормальному закону
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле
13 EMBED Equation.3 1415
вычислим вероятности pi (i = 1, 2, , 6) того, случайная величина Х содержится в интервале 13 EMBED Equation.3 1415, а затем из соотношения 13 EMBED Equation.3 1415 найдем соответствующую теоретическую частоту случайной величиной X в этом интервале:
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 (произведения 13 EMBED Equation.3 1415 округляем до целых чисел).
Этим же способом находим и остальные теоретические частоты случайной величиной X:
13 EMBED Equation.3 1415
Для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415 составим расчетную таблицу 3, при этом малочисленные эмпирические и соответствующие им теоретические частоты первых двух и последних двух групп табл. 2 соединим в две самостоятельные группы.
Таблица 3
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

12
12
18
8
10
16
15
9
2
–4
3
–1
4
16
9
1
0,4
1
0,6

·0,11

Сумма 50

2,11


Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. По таблице вероятностей для критерия 13 EMBED Equation.3 1415, по уровню значимости
· = 0,01 и числу степеней свободы 13 EMBED Equation.3 1415 (s = 4 – число интервалов) находим вероятность 13 EMBED Equation.3 1415, так как при 13 EMBED Equation.3 1415 и k = 1 вероятность равна 0,0833, а при 13 EMBED Equation.3 1415 и при том же k = 1 вероятность
· будет больше, чем 0,0833.
Таким образом, если уровень значимости
· = 0,01, то полученная вероятность
· больше, чем
·.
Итак, гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х следует принять.
г) Интервальной оценкой (с уровнем доверия
·) математического ожидания m нормально распределенной случайной величины Х служит доверительный интервал
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
где 13 EMBED Equation.3 1415 – точность оценки, t – значение аргумента функция Лапласа
·(t), при котором
·(t) = 0,5
·
·.
Все величины, кроме t, известны. Определим t из соотношения
·(t) = 0,5
·0,99 =0,495. По таблице значений функции Лапласа находим t = 2,58. Подставив 13 EMBED Equation.3 1415 в (*), получим доверительный интервал 13 EMBED Equation.3 1415.
Интервальной оценкой (с уровнем доверия
·) среднего квадратического отклонения
· нормально распределенной случайной величины Х служит доверительный интервал
13 EMBED Equation.3 1415,
где q находят по таблице при заданных n и
·.
По данным 13 EMBED Equation.3 1415 и n = 50 по таблице определим q = 0,3. Следовательно, доверительный интервал 13 EMBED Equation.3 1415.


Известны 13 EMBED Equation.3 1415 – результаты независимых наблюдений над случайной величиной X.
Сгруппировать эти данные в интервальную таблицу, подобрав длину интервала или воспользовавшись заданной длиной интервала.
Построить гистограмму и эмпирическую функцию распределения.
Найти несмещенные оценки для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х.
По критерию 13 EMBED Equation.3 1415 (Пирсона) проверить гипотезу о том, что случайная величина Х имеет нормальный закон распределения.
Найти интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения случайной величины Х с уровнем доверия 13 EMBED Equation.3 1415.

7.1.

4,7
7,2
6,2
6,7
7,2
5,7
7,7
8,2
6,2
7,2
5,7

6,2
5,7
8,2
5,7
6,2
5,7
6,2
6,7
5,2
7,7
6,2

7,2
6,7
7,7
6,2
7,2
6,2
6,2
5,7
6,2
6,7
7,2

5,7
6,7
7,7
6,2
4,7
8,7
4,2
4,7
8,7
6,2
6,7


7.2.

14
11
12
13
10
17
15
9
7
6
9
15
14
15
17

19
9
6
16
14
7
17
14
15
11
12
9
17
14
16

17
8
5
17
13
18
16
14
15
17
16
18
19
15
14

16
18
16
14
15












7.3. длина интервала равна 2.

14
13
18
15
12
13
14
12
13
16
15
15
12
13

15
14
16
18
13
15
14
16
14
13
15
12
18
12

14
16
12
13
15
15
15
13
14
15
18
16
12
15

13
13
13
15
15
17
17









7.4.

50
52
140
138
165
165
210
165
170
142
150
168

103
63
68
88
85
105
110
112
131
125
126
135

148
92
99
102
110
115
118
125
121
118
130
133

141
182
199
205
127
132
135
98
105
119
115
125

124













7.5. длина интервала равна 7.

11
15
20
25
29
34
19
25
16
21
29
20
28
35

21
22
23
26
28
30
18
19
17
22
29
26
33
36

39
14
16
24
27
25
31
32
23
37
23
27
34
37

36
42
32
34
39
38
44









7.6. длина интервала равна 5.

16
13
11
15
18
19
21
18
17
15
14
16
18
17

19
15
13
12
14
16
17
20
17
17
20
19
18
22

24
18
15
14
10
12
16
18
18
19
21
23
20
22

24
17
16
14
15
18
15
11
16
17
15
13
16
17

18
14
15
19
17
18
16
13
15
17
21
23
26
19

22
24
25
20
21
24
19
23
22
20
25
21
20
22

26
10
22
23
25
28
20
21
27
19






7.7. длина интервала равна 0,03.

1,03
1,06
1,09
1,12
1,01
1,06
1,05
1,10
1,09

1,13
1,20
1,04
1,08
1,10
1,15
1,11
1,02
1,04

1,07
1,11
1,14
1,05
1,07
1,10
1,13
1,14
1,08

1,06
1,08
1,09
1,13
1,12
1,16
1,09
1,17
1,10

1,15
1,11
1,13
1,10
1,14
1,19
1,21
1,11
1,18

1,23
1,10
1,19
1,03







7.8.

3
4
8
12
14
19
18
23
2
3
5
9
12
10
13

6
10
10
7
11
15
6
12
10
14
16
5
11
11
10

13
10
8
11
7
9
12
9
12
9
14
13
16
18
11

10
12
9
9
15
13
11
12









7.9. длина интервала равна 4.

18
19
21
23
26
27
29
31
24
25
28
27
23

26
32
34
26
24
22
19
23
27
30
29
25
18

18
22
20
22
24
28
31
33
25
18
21
26
30

32
34
29
20
21
20
23
25
27
30
32




7.10. длина интервала равна 8.

147
154
156
157
159
160
187
164
183
176
172

174
161
177
168
173
171
174
161
184
160
177

161
171
178
162
178
164
172
163
174
172
171

168
172
174
164
166
172
168
166
174
173
162

167
162
161
172
167
171







7.11. длина интервала равна 0,05.

0,90
0,79
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,89
0,85

0,91
0,98
0,91
0,80
0,87
0,89
0,88
0,78
0,84

0,81
0,85
0,88
0,94
0,86
0,80
0,86
0,91
0,78

0,86
0,91
0,95
0,97
0,88
0,79
0,82
0,84
0,90

0,82
0,87
0,91
0,90
0,96
0,98
0,89
0,87
0,99

0,85










7.12. длина интервала равна 0,04.

0,90
0,88
0,79
0,89
0,93
0,96
0,98
0,96
0,90

0,92
0,93
0,91
0,86
0,92
0,91
0,94
0,90
0,88

0,90
0,93
0,95
0,99
0,91
0,84
1,00
0,83
0,93

0,95
0,96
0,91
0,89
0,97
0,90
0,93
0,95
1,00

0,83
0,85
0,87
0,90
0,92
0,88
0,97
0,91
0,92

0,89
0,99
0,90
0,94







7.13.

17
27
12
28
32
39
50
67
68
78
72
13
23

47
80
28
37
22
18
12
33
48
58
71
12
26

85
30
42
44
19
13
31
34
55
72
14
25
46

52
65
14
16
24
85
45
54
62
56
53




7.14.

261
260
258
263
257
260
264
259
261
260
264

261
265
261
260
263
260
260
259
260
258
265

259
265
261
268
259
259
259
259
262
264
258

259
263
266
259
261
266
262
259
262
261
259

262
262
261
266
259
262







7.15.

48
29
6
18
24
30
35
25
17
23
27
33
28
19

14
6
24
36
42
47
40
28
12
7
25
27
15
6

16
25
34
40
27
20
6
18
28
37
43
27
38
53

24
41
21
11
17
25
46
51








7.16.

40
62
82
100
110
119
91
32
47
80
95
39
90

102
116
105
102
118
120
140
159
117
122
135
43
59

63
85
101
170
30
45
75
87
37
50
90
104
119

101
131
51
54
70
88
96
106
112
139
130




7.17. длина интервала равна 0,2.

19,1
18,1
18,4
18,2
18,6
18,9
19,0
18,7
18,9

19,2
18,4
19,3
18,5
18,3
18,7
18,8
19,1
19,4

19,7
19,1
18,9
19,3
18,4
19,2
18,2
18,7
19,5

19,3
18,5
18,6
18,8
19,1
18,7
19,1
19,6
18,6

18,8
19,1
19,0
19,5
19,3
18,8
19,0
19,5
18,9

19,0
19,8
19,8
19,9







7.18. длина интервала равна 0,2.

19,5
19,5
19,6
19,8
20,2
20,2
20,4
19,6
19

19,9
19,9
20,0
20,3
20,2
19,6
20,1
20,3
20,5

20,4
19,8
19,7
19,8
20,0
20,1
19,7
20,3
20,2

20,1
24,4
20,5
20,3
20,5
20,2
20,5
20,7
21,0

21,1










7.19. длина интервала равна 2.

16
20
31
45
62
60
35
15
21
33
47
55
62

36
40
49
56
61
54
30
15
22
32
44
53
41

52
17
21
30
54
55
51
42
26
32
45
50
64

25
39
42
42
53
69
58
45
29
34
46
59
37

20
43
55
5
52
38
48
51







7.20.

52
33
10
22
28
34
39
29
21
27
31
37
32

23
18
12
28
40
46
51
44
32
16
11
29
31

19
7
20
29
38
44
31
24
9
17
32
41
47

31
42
57
28
45
25
15
21
29
50
55



7.21. длина интервала равна 6.

550
550
551
551
550
551
562
562
551
530
542

535
542
537
543
540
556
546
556
534
548
533

558
560
558
548
541
551
549
551
550
552
568

538
551
547
552
559
557
546
552
550
557
547

552
554
547
554
567
558
563
563
562
569
552

554
549











7.22. длина интервала равна 5.

27.5
32.5
36.0
36.5
37.5
33.5
22.5
28.5
33.0

36.5
35.0
35.5
33.0
38.5
42.5
37.0
39.0
48.0

34.5
39.6
43.5
41.5
44.0
42.0
44.5
42.0
45.0

41.5
45.5
46.0
37.5
38.0
46.5
38.5
47.0
20.0

29.0
34.0
46.5
23.5
28.0
34.5
33.5
36.0
40.0

44.0
35.5
39.0
26.5
52.5






7.23. длина интервала равна 5.

38,5
47,0
42,5
30,0
35,0
33,0
36,5
42,0
41,0

43,0
41,5
34,0
39,5
45,0
47,5
51,0
37,0
41,0

43,5
48,0
37,5
33,5
38,0
40,5
44,5
49,0
40,0

46,0
50,0
45,0
61,0
40,0
51,5
39,0
55,0
39,5

46,5
56,0
39,0
46,0
57,0
47,0
22,0
37,5
45,0

52,0
59,0
56,0
38,0
40,0






7.24. длина интервала равна 0,3.

61,2
61,4
60,4
61,2
61,3
60,4
61,4
60,3
61,2

60,6
61,6
60,2
61,2
60,3
60,7
60,9
61,2
60,5

61,0
61,4
61,1
60,9
61,5
61,4
60,6
61,2
60,1

61,3
61,1
61,3
60,3
61,3
60,6
61,7
60,6
61,2

60,5
60,8
61,3
61,0
61,2
61,4
60,7
61,3
60,9

61,2
61,1
61,3
60,9
61,4






7.25. длина интервала равна 0,3.

60,7
61,2
60,8
60,3
61,1
61,0
61,5
61,3
61,9

61,4
61,6
61,0
61,7
61,1
60,9
61,5
61,6
61,4

61,5
61,2
61,6
61,3
61,8
61,1
61,7
60,9
62,2

61,1
62,2
61,0
61,5
61,7
62,3
62,3
61,7
62,3

62,5
62,8
62,6
61,5
62,1
62,6
61,6
62,5
62,4

62,3
62,1
62,3
62,2
62,1







Методические указания к самостоятельной работе студентов по теме «Теория вероятностей и математическая статистика» дисциплины «Математика» для студентов инженерных специальностей очной и заочной форм обучения









Составители: Кучумов Р.Я., профессор, д.т.н.
Мусакаев Н.Г., доцент, к.ф.-м.н.
Мусакаева М.Ф., ассистент



















Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Тюменский государственный нефтегазовый университет»
625000, г. Тюмень, ул. Володарского, 38











13PAGE 15


13PAGE 142215



13 EMBED Word.Picture.8 1415

Рис. 1.



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 9445756
    Размер файла: 634 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий