2.2.Профильный уровень_2018_решения и критерии к варианту 2

Решения и критерии оценивания выполнения заданий 13 19 варианта 2
13.  а) Решите уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
б) Условию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 удовлетворяют числа 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: а) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415; б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии оценивания выполнения задания 13
Баллы

Обоснованно получен верный ответ в пункте а) и верно отобраны корни в пункте б)
2

Верно выполнен пункт а)
ИЛИ
Полученный в пунктах а) и б) ответ неверен в результате ОДНОЙ допущенной арифметической ошибки (описки), не повлиявшей принципиально на ход решения и не упростившей задачу
ИЛИ
Пункт а) доведен до верных простейших уравнений, которые решены с ошибкой. При этом конкретные решения простейших уравнений, необходимые для пункта б), отобраны верно, и, следовательно, ответ в пункте б) верен
Замечание. Отбор корней может быть произведен любым способом: на единичной окружности, перебором значений k и т.д., но обязательно показан!
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


14. Основание пирамиды PABC правильный треугольник ABC, сторона которого равна 16, боковое ребро PA 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Высота пирамиды PH делит высоту AM треугольника ABC пополам. Через вершину A проведена плоскость 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, перпендикулярная прямой PM и пересекающая прямую PM в точке K.
а) Докажите, что плоскость 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 делит высоту PH пирамиды PABC в отношении 2:1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и CK.
Решение.
а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке N (см. рисунок 1). Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значит, AK высота и медиана треугольника PAM. Следовательно, N точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что и требовалось доказать.
б) Пусть точка L проекция точки K на плоскость ABC, тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и, значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то L середина MH. Отрезок CL проекция отрезка CK на плоскость ABC.
Далее, поскольку 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, точка H    проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и CK равно расстоянию от точки H до прямой CL, т.е., высоте HF треугольника CHL. (см. рисунок 2).
Далее имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Так как 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: б) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии оценивания выполнения задания 14
Баллы

Имеется верное доказательство в пункте а и обоснованно получен верный ответ в пункте б
2

Имеется верное доказательство в пункте а
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б (даже в том случае, если учащийся опирался на невыполненное или выполненное неверно задание а)
ИЛИ
Имеется верное доказательство в пункте а и обоснованно получен ответ в пункте б, неверный из-за арифметической ошибки (описки)
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2


15. Решите неравенство 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Заметим, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. На этом множестве данное неравенство равносильно неравенству 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Положив 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Далее имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Учитывая условие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, окончательно получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии оценивания выполнения задания 15
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного потерей точки 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Если в ответ или в ОДЗ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то следует выставлять оценку «0 баллов».
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
2

16. Угол MKN треугольника KMN равен 13 EMBED Equation.3 1415. Сторона MN является хордой окружности с центром O и радиусом R, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник MKN.
а) Докажите, что около четырёхугольника KMON можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник KMON можно вписать окружность. Найдите радиус r этой окружности, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
а) Пусть точка P центр окружности, вписанной в треугольник KMN (см.рисунок).
Тогда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415. Углы MNP и NMP вписаны в окружность O(R), поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Следовательно, около четырёхугольника KMON можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) В четырёхугольник KMON можно вписать окружность, следовательно, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Таким образом, треугольник 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равносторонний треугольник со стороной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, а треугольник13 EMBED Equation.DSMT4 1415 равнобедренный треугольник с боковой стороной 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Далее имеем:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Учитывая, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, окончательно получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии оценивания выполнения задания 16
Баллы

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)
3

Не доказано утверждения пункта а), но обоснованно получен верный ответ в пункте б) без использования утверждения пункта а)
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки)
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности.
2

Имеется верное доказательство утверждения пункта а)
ИЛИ
при неверном доказательстве утверждения пункта а) и обоснованном решении пункта б) без использования утверждения пункта а) получен неверный ответ в результате арифметической ошибки (описки)
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен или выполнен неверно
ИЛИ
получен верный ответ в пункте б), но решение недостаточно обоснованно, либо обоснования содержат неточности
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3

17. Агата Артуровна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 20%. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?
Решение. Пусть S = 7 320 000 рублей сумма, взятая в кредит, x рублей величина каждого из платежей, k = 1,2. Тогда после первого года долг в рублях составит kS, после второго 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, после третьего 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, после четвёртого 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. По условию, последнее выражение должно равняться нулю.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Подставляя в последнее выражение значения S и k, получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 6 220 800 рублей.
Критерии оценивания выполнения задания 17
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
3

Верный ответ получен, но недостаточно обоснован
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения
2

Верно построена математическая модель, но дальнейшее решение неверно или решение не закончено
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
3


18. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет единственное решение на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение. Положим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет единственное решение на отрезке 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 тогда и только тогда, когда прямая 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет с дугой AB окружности 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ровно одну общую точку, т.е., при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (см. рисунок). Значения a1 и a2 находим, подставляя координаты точек 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в уравнения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 соответственно:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, откуда 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415.


Значение a3 положительное значение a, при котором система уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 единственное решение. Подставляя 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 в уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, получаем квадратное уравнение 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, дискриминант которого должен равняться нулю.
Имеем: 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415; 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Учитывая условие 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, окончательно получаем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Критерии оценивания выполнения задания 18
Баллы

Обоснованно получен верный ответ
4

Обосновано получен ответ, отличающийся от верного только исключением и/или включением граничных точек
ИЛИ
Ответ неверен вследствие одной арифметической ошибки (описки), не повлиявшей на ход решения и не упростившей задачу
3

С помощью верного рассуждения получены искомые значения a, неверные из-за неверной оценки концов промежутков
ИЛИ
потерян случай касания
2

Задача сведена к исследованию взаимного расположения графиков уравнений 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, но дальнейшие рассуждения неверны или отсутствуют
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4


19. Назовем натуральное число хорошим, если в нем можно переставить цифры так, чтобы получившееся число делилось на 11.
а) Является ли число 5432 хорошим?
б) Является ли число 10235 хорошим?
в) Найти наименьшее хорошее число, состоящее из различных нечетных цифр.
Решение.
а) Да, является: 2453 делится на 11
Замечание: Есть и другие верные примеры, например, 5423 .
б) По признаку делимости на 11, разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, должна делиться на 11. При этом в нашем случае эта разность не может быть равна нулю: так как сумма всех цифр в данном числе равна 11 (независимо от их перестановки), и, значит, разность между суммами чисел, стоящих на четных и нечетных местах, будет нечетной. При этом, эта разность по модулю не превосходит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415,13 QUOTE 1415 что меньше 11. Значит, указанная разность не делится на 11, а, следовательно, и число, полученное любой перестановкой цифр из числа 10235 не будет делиться на 11. Таким образом, 10235 не является хорошим.


в) Всего есть 5 нечетных цифр: 1, 3, 5, 7, 9. Очевидно, числа, составленные из одной или двух различных цифр не делятся на 11. Рассмотрим число, составленное из трех различных нечетных цифр. Наименьшее возможное число число, первые две цифры которого 1 и 3. В качестве третьей нельзя рассмотреть 5 или 7, так как в этом случае сумма всех цифр будет нечетна, а значит и разность между суммами цифр на четных и нечетных местах будет нечетной, то есть не равной нулю.
При этом данная разность не превосходит 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, что меньше 11. Значит, числа 135 и 137 хорошими не являются. А 139 – хорошее, так как 319 делится на 11.
Ответ: а) да, б) нет, в) 139.
Критерии оценивания выполнения задания 19
Баллы

Верно получены все перечисленные результаты (см. критерий на 1 балл)
4

Верно получены три из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл)
3

Верно получены два из перечисленных результатов (см. критерий на 1 балл)
2

Верно получен один из перечисленных результатов:
верный пример в пункте а);
обоснованное решение пункта б);
доказательство того, что в пункте в) количество цифр не меньше трёх;
приведён пример наименьшего хорошего трёхзначного числа.
1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0

Максимальный балл
4










МАТЕМАТИКА, 11 класс. Профильный уровень Решения и критерии, Вариант 2

13PAGE 15


13PAGE 14115
Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.04.2018


13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMBED Equation.DSMT4 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 9396379
    Размер файла: 517 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий